Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

$$\begin{gathered} a. y=\frac{3x+1}{1-x}; \\ b. y=\frac{x^2-2x}{1-x}; \\ c. y=\sqrt{x^2-x-20}; \\ d. y=\frac{2x}{x^2-9} \end{gathered}$$

a) Tập xác định: D = R \ {1}

y' không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞).

b) Tập xác định: D = R \ {1}

y’ < 0 với ∀ x ∈ D (vì –x² + 2x – 2 < 0).

y' không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ;1) và (1 ; +∞)

c) Tập xác định: D = (-∞ ; -4] ∪ [5; +∞)

y' không xác định tại x = -4 và x = 5

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; -4); đồng biến trong khoảng (5; +∞).

d) Tập xác định: D = R \ {±3}

Vì x² ≥ 0 ∀ x ⇒ x² + 9 > 0 ∀ x ⇔ -2(x² + 9) < 0

Mà (x²-9)² > 0 ∀ x ∈ D

Suy ra: y’ < 0 với ∀ x ∈ D.

y' không xác định tại x = ±3

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; -3); ( -3; 3) và (3; +∞ ).

Kiến thức áp dụng

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định .

Bước 2: Tính đạo hàm y’. Tìm các giá trị của x để f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các giá trị của x ở trên theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Lưu ý: Dấu của f’(x) trong một khoảng trên bảng biến thiên chính là dấu của f’(x) tại một điểm x₀ bất kì trong khoảng đó. Do đó, ta chỉ cần lấy một điểm x₀ bất kì trong khoảng đó rồi xét xem f’(x₀) dương hay âm.

Bước 4: Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.