Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

$$\begin{gathered} a. y=\frac{3x+1}{1-x}; \\ b. y=\frac{x^2-2x}{1-x}; \\ c. y=\sqrt{x^2-x-20}; \\ d. y=\frac{2x}{x^2-9} \end{gathered}$$

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) y = 4 + 3x – x²

b) $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2-7x-2$

c) y = x⁴ - 2x² + 3

d) y = -x³ + x² – 5

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

$$\begin{gathered} a. \tan x >x \left(0<x<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ b. \tan x > x + \frac{x^3}{3} \left(0<x<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \end{gathered}$$

Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx trên đoạn [(-π)/2; 3π/2] và các hàm số y = |x| trên khoảng (-∞; +∞).

Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{2x-x^2}$ đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng:

a) y = -x²/2 (H.4a)       b) y = 1/x (H.4b)

Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng.

Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không ? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không ?