Trên cạnh CD của hình vuông ABCD, lấy một điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính AM. Gọi E là giao điểm của đường tròn tâm (O')   đường kính CD. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm thứ hai N. Tia DN cắt BC tại P. Chứng minh rằng:

c) Cho AB cố định, C thay đổi sao cho $\widehat{BCA}={90}^0$ . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua hai điểm cố định và tâm đường tròn này nằm trên đường thẳng cố định

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF tiếp xúc với đường tròn (O)

b, Chứng minh rằng: $ABCD$  nội tiếp

Cho (O) đường kính AB. Điểm M chuyển động trên (O), $M\ne A$ ; $M\ne B$. Kẻ MH vuông góc với AB. Vẽ đường tròn $\left(O_1\right)$  đường kính MH cắt đường thẳng MA và MB tại C và D  . Chứng minh rằng:

d) Xác định vị trí của điểm C để đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với đường tròn (O).

d) Ngoài điểm M ra, các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn điểm chung nào nữa không? Vì sao?

c) Chứng minh rằng ba điểm P,M, Q thẳng hàng

b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AB, DE song song

Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó có một điểm M. Trên đường kinh AB lấy một điểm C sao cho $AC<CB$ . Trên nửa mặt phằng bờ AB có chứa điểm M, người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB; đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax tại P; đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP và AM; E là giao điểm của CQ và BM

Cho $∆ABC$ có trực tâm H nội tiếp (O) đường kính CM, gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng H, I, M thẳng hàng.

Hai đường tròn $\left(O;R\right)$  và $\left(O\text{'};r\right)$ tiếp xúc ngoài tại $C\left(R>r\right)$  gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn $\left(O\right)$  và $\left(O\text{'}\right)$ . DE là dây cung của đường tròn $\left(O\right)$  vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Tia DC cắt đường tròn $\left(O\text{'}\right)$   tại điểm thứ 2 là F

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC tại D, M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) tại N, cắt BC tại E. Chứng minh O, N, O’thẳng hàng.

Cho tam giác  ABC có các góc B và C nhọn, đường cao AH  . Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE($\widehat{BA\text{D}}=\widehat{CA\text{E}}={90}^{\text{o}}$). Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng H, A, M thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi.

b) Chứng minh rằng  $\frac{DM}{DE}=\frac{CM}{CE}$

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn.

c) Chứng minh $AE.AK+BI.BA=4R^2.$

b) Chứng minh $A{M}^2=AE.AK.$

Cho đường tròn (O,R) đường kính AB=2R  dây cung MN của (O)  vuông góc AB với tại I sao cho IA<IB. Trên đoạn MI   lấy điểm $E(E\ne M,E\ne I)$ . Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K

a) Chứng minh tứ giác $IEKB$  nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh rằng  $CE.DF.EF=A{B}^3$và $\frac{B{E}^3}{B{F}^3}=\frac{CE}{DF}$

Cho đường tròn (O,R) và hai đường kính AB,CD bất kì. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E,F. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của các đường thẳng AE, AF.

a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.

Cho tam giác ABC  vuông cân tại A, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại  B với đường tròn (O) cắt tia CA tại D. Trên cạnh AB lấy điểm E (  E không trùng với A và B). Tia CE cắt đường tròn (O) tại F và cắt BD tại K . Tia BF cắt CD tại M.

a) Chứng minh $\Delta MAB\backsim \Delta MFC$ .

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Dựng đường tròn tâm O đường kính AH   cắt AB tại E  , AC cắt tại F  . Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E, F lần lượt cắt cạnh BC tại M và N.

a) Chứng minh rằng tứ giác $MEOH$  nội tiếp

c. Tia cắt CM đường thẳng AB tại E. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AF tại I. Chứng minh: IE=IF

b. Chứng minh: $DF.DM=A{D}^2$.

Cho đường tròn (O,R) và AB dây , vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại K ( D thuộc cung nhỏ AB). Lấy điểm  thuộc cung nhỏ BC  , DM cắt  AB tại F.

a. Chứng minh tứ giác $CKFM$ nội tiếp.

c) Chứng minh: $CM\text{//}OP$  .

c) Chứng minh: $CM\text{//}OP$  .

b) Chứng minh: $\Delta MCO=\Delta OPM$  , suy ra OMPD là hình chữ nhật.