Mục lục Giải bài tập Toán 7 Bài 2: Tập hợp R các số thực

Bài giảng Toán 7 Bài 2: Tập hợp R các số thực

Hoạt động khởi động

Khởi động trang 38 Toán lớp 7 Tập 1: Các số hữu tỉ và vô tỉ được gọi chung là số gì?

Lời giải:

Có 1 tập hợp gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ đó là tập số thực, vì vậy bài học hôm nay sẽ tìm hiểu về tập số thực đó.

1. Số thực

Hoạt động 1 trang 38 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Nếu hai ví dụ về số hữu tỉ.

b) Nêu hai ví dụ về số vô tỉ.

Lời giải:

a) Hai ví dụ về số hữu tỉ là:  $\frac{-2}{5};0,575$.

b) Hai ví dụ về số vô tỉ là: $\sqrt{5};-\sqrt{15}$.

Hoạt động 2 trang 38 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Nêu biểu diễn thập phân của số hữu tỉ.

b) Nêu biểu diễn thập phân của số vô tỉ.

Lời giải:

a) Các số hữu tỉ được biểu diễn bằng các số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

b) Các số vô tỉ được biểu diễn bằng các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

2. Biểu diễn số thực trên trục số

Hoạt động 3 trang 39 Toán lớp 7 Tập 1:Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: $\frac{-1}{2}; 1; 1,25; \frac{7}{4}$.

Lời giải:

+) Với số  $\frac{-1}{2}$: Ta chia mỗi đoạn thẳng đơn vị ban đầu thành hai phần bằng nhau.

Khi đó, mỗi phần là một đoạn thẳng đơn vị mới.

$\frac{-1}{2}$ là số âm, nên ta biểu diễn số $\frac{-1}{2}$ nằm bên trái số 0 và cách 0 một khoảng bằng một đơn vị mới.

+) Với số 1,25 =  $\frac{5}{4}$: Ta chia mỗi đoạn thẳng đơn vị ban đầu thành bốn phần bằng nhau.

Khi đó, mỗi phần là một đoạn thẳng đơn vị mới.

$\frac{5}{4}$ là số dương, nên ta biểu diễn số $\frac{5}{4}$ nằm bên phải số 0 và cách 0 một khoảng bằng năm đơn vị mới.

+) Với số  $\frac{7}{4}$: Ta chia mỗi đoạn thẳng đơn vị ban đầu thành bốn phần bằng nhau.

Khi đó, mỗi phần là một đoạn thẳng đơn vị mới.

$\frac{7}{4}$ là số dương, nên ta biểu diễn số $\frac{7}{4}$ nằm bên phải số 0 và cách 0 một khoảng bằng bảy đơn vị mới.

Vậy các số $\frac{-1}{2};1;1,25;\frac{7}{4}$ được biểu diễn trên trục số như sau:

3. Đối số của một số thực

Hoạt động 4 trang 39 Toán lớp 7 Tập 1: Đọc kỹ nội dung sau:

Gọi A là điểm (nằm bên phải điểm gốc 0) biểu diễn số thực $\sqrt{2}$ trên trục số nằm ngang. Gọi B là điểm nằm bên trái điểm gốc 0 sao cho OA = OB (điểm O biểu diễn điểm gốc 0). Khi đó, điểm B biểu diễn một số thực, kí hiệu là $-\sqrt{2}$ (Hình 6).

Hai điểm biểu diễn các số thực $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ nằm về hai phía của điểm gốc 0 và cách đều điểm gốc 0.

Luyện tập 1 trang 40 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm số đối của mỗi số sau: $\frac{2}{-9};-\mathrm{0,5};-\sqrt{3}$.

Lời giải:

Số đối của $\frac{-2}{9}$ là $\frac{2}{9}$ vì $\frac{-2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ = 0;

Số đối –0,5 là 0,5 vì (–0,5) + 0,5 = 0.

Số đối của $-\sqrt{3}$ là $\sqrt{3}$ vì ($-\sqrt{3}$) + $\sqrt{3}$ = 0.

4. So sánh các số thực

Hoạt động 5 trang 40 Toán lớp 7 Tập 1:

a) So sánh hai số thập phân sau: –0,617 và –0,614.

b) Nêu quy tắc so sánh hai số thập phân hữu hạn.

Lời giải:

a) Vì –0,617 và –0,614 là hai số thập phân âm nên ta đi so sánh hai số đối của chúng.

Số đối của –0,617 là 0,617.

Số đối của –0,614 là 0,614.

Kể từ trái sang phải, chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là chữ số hàng phần nghìn.

Mà 7 > 4 nên 0, 617 > 0,614

Do đó –0,617 < –0,614.

b) Quy tắc so sánh hai số thập phân hữu hạn.

- Nếu hai số thập phân hữu hạn a, b đem so sánh là hai số thập phân dương thì ta đi so sánh phần nguyên của chúng. Nếu phần nguyên bằng nhau thì ta so sánh đến phần thập phân, bắt đầu từ hàng phần mười, nếu hàng phần mười bằng nhau thì ta so sánh đến hàng phần trăm…đến cùng một hàng nào đó, số thập phân nào có chữ số ở hàng tương ứng lớn hơn thì lớn hơn.

- Nếu hai số thập phân hữu hạn a, b đem so sánh có một số là số thập phân âm, một số là số thập phân dương thì số thập phân dương luôn lớn hơn số thập phân âm.

- Nếu hai số thập phân hữu hạn a, b đem so sánh là hai số thập phân âm thì ta so sánh hai số đối của chúng với nhau. Số nào có số đối lớn hơn thì nhỏ hơn.

Chú ý: Số thập phân âm luôn nhỏ hơn 0, số thập phân dương luôn lớn hơn 0.

Luyện tập 2 trang 41 Toán lớp 7 Tập 1: So sánh hai số thực sau: 

a) 1,(375) và $1\frac{3}{8}$;

b) –1,(27) và  –1,272.

Lời giải:

a) Ta có: $1\frac{3}{8}=1,375=1,3750$ và 1, (375) = 1, 375375…

Ta thấy kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số ở vị trí hàng phần chục nghìn.

Vì 3 > 0 nên 1,375375… > 1,3750

Do đó 1,(375) >  $1\frac{3}{8}$.

b) Ta có: –1,(27) = –1,2727… và –1,272 = –1,2720.

Ta đi so sánh hai số 1,2727… và 1,2720

Ta thấy kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số ở vị trí hàng phần chục nghìn.

Vì 7 > 0 nên 1,2727… > 1,2720

Do đó –1,2727… < –1,2720

Hay –1,(27) < –1,272.

Bài tập

Bài 1 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Nếu a $\in \mathbb{Z}$ thì a $\in ℝ$.

b) Nếu a $\in \mathbb{Q}$ thì a $\in ℝ$.

c) Nếu a $\in ℝ$ thì a $\in \mathbb{Z}$.

d) Nếu a $\in ℝ$ thì a $\notin \mathbb{Q}$.

Lời giải:

Phát biểu đúng là a và b.

Phát biểu sai là c và d.

Phát biểu c sai vì 2,5 ∈ ℝ nhưng 2,5 ∉ ℤ.

Phát biểu d sai vì $\frac{4}{5}\in ℝ$ và  $\frac{4}{5}\in \mathbb{Q}$.

Bài 2 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm số đối của mỗi số sau:$\frac{-8}{35};\frac{5}{-6};-\frac{18}{7};\mathrm{1,15};-\mathrm{21,54};-\sqrt{7};\sqrt{5}$.

Lời giải:

Số đối của $\frac{-8}{35}$ là $\frac{8}{35}$ vì $-\frac{8}{35}$ + $\frac{8}{35}$ = 0.

Số đối của $\frac{5}{-6}$ là $\frac{5}{6}$ vì $-\frac{5}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = 0.

Số đối của $-\frac{18}{7}$ là $\frac{18}{7}$ vì $-\frac{18}{7}$ + $\frac{18}{7}$ = 0.

Số đối của 1,15 là –1,15 vì 1,15 + (–1,15) = 0.

Số đối của –21,54 là 21,54 vì (–21,54) + 21,54 = 0.

Số đối của $-\sqrt{7}$ là $\sqrt{7}$ vì  $\left(-\sqrt{7}\right)+\sqrt{7}=0$.

Số đối của $\sqrt{5}$ là $-\sqrt{5}$ vì $\left(-\sqrt{5}\right)+\sqrt{5}=0$

Bài 3 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1:

a) –1,(81) và –1,812;

b) $2\frac{1}{7}$ và 2,142;

c) –48,075… và –48,275…;

d) $\sqrt{5}$ và $\sqrt{8}$

Lời giải:

a) Ta đi so sánh 1,(81) và 1,812

Ta có: 1,(81) = 1, 8181…

So sánh: 1,8181…và 1,812 ta thấy: Kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số ở vị trí hàng phần nghìn.

Mà 8 > 2 nên 1,8181… > 1,812.

Do đó –1,8181… < –1,812 hay –1,(81) < –1,812.

b) Ta thấy  $2\frac{1}{7}$ và 2,142 có phần nguyên giống nhau nên ta đi so sánh  $\frac{1}{7}$ và 0,142.

Đặt tính 1 : 7 như sau:

Vậy $\frac{1}{7}=0,\mathrm{1428...}$ ta so sánh 0,1428… và 0,1420

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số hàng phần chục nghìn.

Mà 8 > 0 nên 0,1428… > 0,1420

Hay $\frac{1}{7}>0,142$ nên $2\frac{1}{7}>2,142$

c) Ta đi so sánh 48,075… và 48,275…

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp số hàng phần mười.

Mà 0 < 2 nên 48,075… < 48,275…

Do đó –48,075… > –48,275…

d) Vì 8 > 5 > 0 nên $\sqrt{8}>\sqrt{5}$.

Bài 4 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm chữ số thích hợp cho $\boxed{?}$:

a) $-\mathrm{5,02}<-\mathrm{5,}\boxed{?}1$;

b) $-\mathrm{3,7}\boxed{?}8>-\mathrm{3,715}$;

c) $-\mathrm{0,5}\boxed{?}\left(742\right)<-\mathrm{0,59653}$;

d) $-\mathrm{1,}\left(4\boxed{?}\right)<-\mathrm{1,49}$.

Lời giải:

a) Vì $-\mathrm{5,02}<-\mathrm{5,}\boxed{?}1$ nên 5,02 > 5,$\boxed{?}$1 .

Ta thấy phần nguyên của hai số giống nhau nên $\boxed{?}$ phải điền là số 0 vì nếu là số lớn hơn 0 thì không thỏa mãn.

b) Vì $-\mathrm{3,7}\boxed{?}8>-\mathrm{3,715}$ nên 3,7$\boxed{?}$8 < 3,715. 

Xét hai số 3,7$\boxed{?}$8 < 3,715: Ta thấy phần nguyên và hàng phần mười của hai số giống nhau; hàng phần nghìn có 8 > 5 nên hàng phần trăm của 3,7$\boxed{?}$8 phải nhỏ hơn hàng phần trăm của 3,715.

Do đó $\boxed{?}$ chỉ có thể là 0.

c) Vì $-\mathrm{0,5}\boxed{?}\left(742\right)<-\mathrm{0,59653}$ nên 0,5$\boxed{?}$(742) > 0,59653. 

Xét 0,5$\boxed{?}$(742) > 0,59653: Ta thấy phần nguyên và hàng phần mười của hai số giống nhau nếu $\boxed{?}$ nhỏ hơn 9 thì 0,5$\boxed{?}$(742) < 0,58653 nên $\boxed{?}$ chỉ có thể là 9.

d) Vì $-\mathrm{1,}\left(4\boxed{?}\right)<-\mathrm{1,49}$ nên 1,$\left(4\boxed{?}\right)$ > 1,49

Ta có: $\mathrm{1,}\left(4\boxed{?}\right)=\mathrm{1,4}\boxed{?}4\boxed{?}\mathrm{...}$ ta thấy nếu $\boxed{?}$< 9 thì $\mathrm{1,}\left(4\boxed{?}\right)=\mathrm{1,4}\boxed{?}4\boxed{?}\mathrm{...}$< 1,49 nên $\boxed{?}$ chỉ có thể là 9.

Bài 5 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: 

–2,63…; 3,(3); –2,75…; 4,62.

b) Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần: 

1,371…; 2,065; 2,056…; –0,078…;1,(37).

Lời giải:

a) Ta chia thành hai nhóm để so sánh là nhóm số thập phân âm và nhóm số thập phân dương.

Nhóm 1: 3, (3); 4,62.

Nhóm 2: –2,63…; –2,75…

+) Ta đi so sáng nhóm 1: 3,(3); 4,62

So sánh 3,(3) = 3,33… và 4,62.

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp số hàng đơn vị.

Mà 3 < 4 nên 3,33… < 4,62.

+) Ta đi so sánh nhóm 2: –2,63…; –2,75….

So sánh 2,63… và 2,75…

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp số hàng phần mười.

Mà 6 < 7 nên 2,63… < 2,75….

Do đó –2,63… > –2,75…

Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần: –2,75…; –2,63…; 3,(3); 4,62.

b) Ta thấy số thập phân âm bé hơn số thập phân dương nên –0,078 nhỏ nhất

+) Ta so sánh 1,371… và 1,(37) = 1,3737…

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp số hàng phần nghìn.

Mà 3 > 1 nên 1,3737… > 1,371…

Do đó 1,(37) > 1,371….

+) Ta đi so sánh 2,065 và 2,056….

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp số hàng phần trăm.

Mà 6 > 5 nên 2,065 > 2,056…

Vì 2 > 1 nên ta sẽ có những số có phần nguyên là 2 sẽ lớn hơn những số có phần nguyên là 1.

Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần: 2,065; 2,056…; 1,(37); 1,371…; –0,078…