Giải bài tập Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác  

A. Câu hỏi trong bài

Câu hỏi khởi động trang 104 Toán 7 Tập 2: Hình 96 minh họa một miếng bìa phẳng có dạng hình tam giác đặt thăng bằng trên đầu ngón tay tại điểm G.

Điểm G được xác định như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Điểm G là trọng tâm của tam giác (hay G là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác).

Hoạt động 1 trang 104 Toán 7 Tập 2: Quan sát Hình 97 và cho biết các đầu mút của đoạn thẳng AM có đặc điểm gì.

Lời giải:

Ta coi độ dài cạnh của ô vuông nhỏ là 1.

Khi đó độ dài của đoạn thẳng MB bằng 3 lần độ dài cạnh ô vuông nên MB = 3.

Tương tự ta có MC = 3.

Lại thấy M nằm giữa B và C nên M là trung điểm của BC.

Vậy điểm A là một đỉnh của tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh BC.

Luyện tập 1 trang 105 Toán 7 Tập 2: Trong Hình 101, đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của những tam giác nào?

Lời giải:

Quan sát Hình 101 ta thấy:

+ Đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của tam giác BHC vì H là đỉnh của tam giác BHC, K là trung điểm của cạnh BC;

+ Đoạn thẳng KH là đường trung tuyến của tam giác AKC vì K là đỉnh của tam giác AKC, H là trung điểm của cạnh AC.

Hoạt động 2 trang 105 Toán 7 Tập 2: Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong Hình 102, cho biết ba đường trung tuyến đó có cùng đi qua một điểm hay không.

Lời giải:

Quan sát Hình 102, ta thấy ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm G.

Luyện tập 2 trang 105 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng ba điểm P, G, I thẳng hàng.

Lời giải:

Tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác PQR.

I là trung điểm của cạnh QR nên PI là đường trung tuyến của tam giác PQR kẻ từ đỉnh P.

Mà các đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua trọng tâm của tam giác nên trung tuyến PI sẽ đi qua điểm G.

Vậy ba điểm P, G, I thẳng hàng.

Hoạt động 3 trang 106 Toán 7 Tập 2: Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong Hình 104.

Bằng cách đếm số ô vuông, tìm các tỉ số $\frac{AG}{AM},\frac{BG}{BN},\frac{CG}{CP}.$

Lời giải:

Đếm số ô vuông trong Hình 104, ta thấy:

+) Đoạn thẳng AG đi qua 6 ô vuông, đoạn thẳng AM đi qua 9 ô vuông.

Do đó $\frac{AG}{AM}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$;  

+) Đoạn thẳng BG đi qua 4 ô vuông, đoạn thẳng BN đi qua 6 ô vuông.

Do đó: $\frac{BG}{BN}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$;  

+) Đoạn thẳng CG đi qua 4 ô vuông, đoạn thẳng CP đi qua 6 ô vuông.

Do đó: $\frac{CG}{CP}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

B. Bài tập

Bài 1 trang 107 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh:

GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó AG = $\frac{2}{3}$AM; BG = $\frac{2}{3}$BN; CG = $\frac{2}{3}$CP (tính chất trọng tâm của tam giác)

Do đó GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$AM + $\frac{2}{3}$BN + $\frac{2}{3}$CP = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).

Vậy GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).

Bài 2 trang 107 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:

a) BM = CN;

b) $∆$GBC cân tại G.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC (1).

Do BM đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC do đó $AM=MC=\frac{1}{2}AC$  (2)

CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên N là trung điểm của AB do đó $AN=NB=\frac{1}{2}AB$  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: AM = AN.

Xét $∆$ABM và $∆$ACN có:

AM = AN (chứng minh trên).

$\widehat{A}$ là góc chung,

AB = AC (chứng minh trên)

Do đó $∆$ABM = $∆$ACN (c.g.c)

Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).

Vậy BM = CN.

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra BG = $\frac{2}{3}$BM; CG = $\frac{2}{3}$CN (tính chất trọng tâm của tam giác).

Mà BM = CN (chứng minh câu a)

Do đó BG = CG.

Tam giác GBC có BG = CG nên tam giác GBC cân tại G.

Vậy $∆$GBC cân tại G.

Bài 3 trang 107 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:

a) GA = GD;

b) $∆$MBG = $∆$MCD;

c) CD = 2GN.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GM = $\frac{1}{2}$GA (tính chất trọng tâm của tam giác).

Điểm D nằm trên tia đối của tia MA và MD = MG (giả thiết) nên M là trung điểm của GD.

Suy ra GM = $\frac{1}{2}$GD.

Do đó GA = GD.

Vậy GA = GD.

b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.

Xét $∆$MBG và $∆$MDC có:

MB = MC (giả thiết),

$\widehat{GMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh),

MG = MD (chứng minh trên),

Do đó $∆$MBG = $∆$MDC (c.g.c).

c) Vì $∆$MBG = $∆$MDC (chứng minh câu b) nên CD = BG (hai cạnh tương ứng).

Lại có G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.

Do đó CD = 2GN.

Vậy CD = 2GN.

Bài 4 trang 107 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:

a) $∆$AHB = $∆$AHM;

b) $AG=\frac{2}{3}AB$.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Vì H là hình chiếu của A trên BC nên AH $\perp$ BC

Do đó $∆$AHB vuông tại H và $∆$AHM vuông tại H.

Xét $∆$AHB (vuông tại H) và $∆$AHM (vuông tại H) có:

AH là cạnh chung,

HB = HM (H là trung điểm của BM).

Do đó $∆$AHB = $∆$AHM (hai cạnh góc vuông).

Vậy $∆$AHB = $∆$AHM.

b) Vì $∆$AHB = $∆$AHM (chứng minh câu a)

Nên AB = AM (hai cạnh tương ứng).

$∆$ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của $∆$ABC.

Suy ra AG = $\frac{2}{3}$AM (tính chất trọng tâm của tam giác)

Do đó AG = $\frac{2}{3}$AB.

Vậy $AG=\frac{2}{2}AB.$ 

Bài 5 trang 107 Toán 7 Tập 2: Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.

a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?

b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Lời giải:

a) DABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$.

Lại có AH là đường trung tuyến của $∆$ABC nên H là trung điểm của BC.

Do đó BH = CH.

Xét $∆$ABH và $∆$ACH có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$ (chứng minh trên),

BH = CH (chứng minh trên),

Do đó $∆$ABH = $∆$ACH (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180°$ 

Nên $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\frac{180°}{2}=90°$ 

Hay AH $\perp$ BC.

Vậy AH $\perp$ BC.

b) Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên OH = $\frac{1}{3}$AH (tính chất trong tâm tam giác)

Mà AH = 1,2 m

Do đó OH = $\frac{1}{3}$. 1,2 = 0,4 m.

Vì mỗi tầng cao 3,3 m mà ngôi nhà ba tầng nên vị trí O ở độ cao so với mặt đất là:

0,4 + 3,3 . 3 = 10,3 (m)

Vậy vị trí O ở độ cao 10,3 m so với mặt đất.