Giải bài tập Toán 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

A. Câu hỏi trong bài

Câu hỏi khởi động trang 88 Toán 7 Tập 2: Có ba trạm quan sát A, B, C trong đó trạm quan sát C ở giữa hồ.

Người ta muốn đo khoảng cách từ A và từ B đến C. Do không thể đo trực tiếp được các khoảng cách trên nên người ta làm như sau (Hình 55):

- Đo góc BAC được 60°, đo góc ABC được 45°;

- Kẻ tia Ax sao cho $\widehat{BAx}=60°$, kẻ tia By sao cho $\widehat{ABy}=45°$, xác định giao điểm D của hai tia đó;

- Đo khoảng cách AD và BD. Ta có AC = AD và BC = BD.

Tại sao lại có hai đẳng thức trên?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Bài toán được mô tả bởi hai tam giác ABC và tam giác ABD như Hình 55.

Chứng minh (Hình 55):

Xét $∆$ABC và $∆$ABD có:

$\widehat{BAC}=\widehat{DAB}\left(=60°\right)$ (giả thiết),

AB chung,

$\widehat{ABC}=\widehat{ABD}\left(=45°\right)$ (giả thiết)

Suy ra $∆$ABC = $∆$ABD (g.c.g)

Do đó AC = AD và BC = BD (các cặp cạnh tương ứng).

Vậy AC = AD và BC = BD.

Hoạt động 1 trang 88 Toán 7 Tập 2: 

Cho tam giác ABC (Hình 56).

Những góc nào của tam giác ABC có cạnh thuộc đường thẳng AB?

Trong tam giác ABC (Hình 56), ta gọi góc A và góc B là hai góc kề cạnh AB. Tương tự, góc B và góc C là hai góc kề cạnh BC, góc C và góc A là hai góc kề cạnh CA.

Lời giải:

Ta có $\widehat{BAC}$ gồm hai cạnh lần lượt thuộc hai đường thẳng AB và AC;

$\widehat{ABC}$ gồm hai cạnh lần lượt thuộc hai đường thẳng AB và BC.

Vậy, những góc của tam giác ABC có cạnh thuộc đường thẳng AB là: $\widehat{BAC}$ và $\widehat{ABC}$

Hoạt động 2 trang 88 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' (Hình 57) có: $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}=60°,$ AB = A'B' = 3 cm, $\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}=45°$.

Bằng cách đếm số ô vuông, hãy so sánh BC và B'C'. Từ đó có thể kết luận được hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau hay không?

Lời giải:

Dựa vào hình trên, bằng cách đếm số ô vuông, ta thấy:

+) Cạnh BC là đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh bằng 4 độ dài cạnh ô vuông;

+) Cạnh B'C' là đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh bằng 4 độ dài cạnh ô vuông;

Do đó BC = B'C'.

Xét $∆$ABC và $∆$A'B'C' có:

AB = A'B' (= 3cm).

$\widehat{ABC}=\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\left(=45°\right)$.

BC = B'C' (chứng minh trên).

Suy ra $∆$ABC = $∆$A'B'C' (c.g.c)

Vậy $∆$ABC = $∆$A'B'C'.

Luyện tập 1 trang 89 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' thỏa mãn: BC = B'C' = 3 cm, $\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}=60°$, $\widehat{C}=50°$, $\widehat{A^{\text{'}}}=70°$. Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Xét tam giác A'B'C' có: $\widehat{A^{\text{'}}}+\widehat{B^{\text{'}}}+\widehat{C^{\text{'}}}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{C^{\text{'}}}=180°-\widehat{A^{\text{'}}}-\widehat{B^{\text{'}}}=180°-70°-60°=50°$.

Xét $∆$ABC và $∆$A'B'C' có:

$\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}\left(=60°\right)$.

BC = B'C' (theo giả thiết).

$\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}\left(=50°\right)$.

Suy ra $∆$ABC = $∆$A'B'C' (g.c.g)

Vậy $∆$ABC = $∆$A'B'C'.

Luyện tập 2 trang 89 Toán 7 Tập 2: Giải thích bài toán ở phần mở đầu.

Lời giải:

Bài toán được mô tả bởi hai tam giác ABC và tam giác ABD như Hình 55.

Chứng minh (Hình 55):

Xét $∆$ABC và $∆$ABD có:

$\widehat{BAC}=\widehat{DAB}\left(=60°\right)$ (giả thiết),

AB chung,

$\widehat{ABC}=\widehat{ABD}\left(=45°\right)$ (giả thiết)

Suy ra $∆$ABC = $∆$ABD (g.c.g)

Do đó AC = AD và BC = BD (các cặp cạnh tương ứng).

Vậy AC = AD và BC = BD.

B. Bài tập

Bài 1 trang 91 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' thỏa mãn: AB = A'B', $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$, $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}$. Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Xét tam giác ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{B}=180°-\widehat{A}-\widehat{C}$.

Xét tam giác A'B'C' có: $\widehat{A^{\text{'}}}+\widehat{B^{\text{'}}}+\widehat{C^{\text{'}}}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{B^{\text{'}}}=180°-\widehat{A^{\text{'}}}-\widehat{C^{\text{'}}}$.

Mà $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$, $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}$(giả thiết) nên $\widehat{\text{}B}=\widehat{B^{\text{'}}}$.

Xét $∆$ABC và $∆$A'B'C' có:

$\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$ (giả thiết),

AB = A’B’ (giả thiết),

$\widehat{\text{}B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ (giả thiết).

Suy ra $∆$ABC = $∆$A'B'C' (g.c.g).

Vậy $∆$ABC = $∆$A'B'C'.

Bài 2 trang 91 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 65 có AM = BN, $\widehat{A}=\widehat{B}$.

Chứng minh: OA = OB, OM = ON.

Lời giải:

Chứng minh (Hình 65):

Xét $∆$AMO có: $\widehat{AMO}+\widehat{A}+\widehat{AOM}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{AMO}=180°-\widehat{A}-\widehat{AOM}$. (1)

Xét $∆$BNO có: $\widehat{BNO}+\widehat{B}+\widehat{BON}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{BNO}=180°-\widehat{B}-\widehat{BON}$. (2)

Mà $\widehat{A}=\widehat{B}$ (theo giả thiết), $\widehat{AOM}=\widehat{BON}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\widehat{AMO}=\widehat{BNO}$.

Xét $∆$AMO và $∆$BNO có:

$\widehat{A}=\widehat{B}$ (giả thiết).

AM = BN (giả thiết).

$\widehat{AMO}=\widehat{BNO}$ (chứng minh trên).

Suy ra $∆$AMO và $∆$BNO (g.c.g).

Do đó OA = OB và OM = ON (các cặp cạnh tương ứng).

Bài 3 trang 92 Toán 7 Tập 2:

Cho Hình 66 có $\widehat{N}=\widehat{P}=90°,\widehat{PMQ}=\widehat{NQM}.$ Chứng minh MN = QP, MP = QN.

Lời giải:

Chứng minh (Hình 66):

Tam giác MNQ có $\widehat{N}=90°$ (giả thiết) nên tam giác MNQ vuông tại N.

Tam giác QPM có $\widehat{P}=90°$ (giả thiết) nên tam giác MPQ vuông tại P.

Xét $∆$MNQ (vuông tại N) và $∆$MPQ (vuông tại P) có:

$\widehat{NQM}=\widehat{PMQ}$ (giả thiết).

MQ chung.

Suy ra $∆$MNQ  = $∆$QPM  (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó MN = QP và MP = QN (các cặp cạnh tương ứng).

Vậy MN = QP và MP = QN.

Bài 4 trang 92 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 67 có $\widehat{AH\text{D}}=\widehat{BKC}=90°,$ DH = CK, $\widehat{DAB}=\widehat{CBA}.$ Chứng minh AD = BC.

Lời giải:

Chứng minh (Hình 67):

Xét tam giác AHD có: $\widehat{DAB}$ là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác nên $\widehat{DAB}=\widehat{AHD}+\widehat{A\text{D}H}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Hay $\widehat{DAB}=90°+\widehat{A\text{D}H}$.

Xét tam giác BKC có: $\widehat{CBA}$ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác nên $\widehat{CBA}=\widehat{BKC}+\widehat{BCK}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Hay $\widehat{CBA}=90°+\widehat{BCK}$.

Mà $\widehat{DAB}=\widehat{CBA}$ (giả thiết) nên $\widehat{A\text{D}H}=\widehat{BCK}$.

Tam giác AHD có $\widehat{AHD}=90°$  nên là tam giác vuông tại H.

Tam giác BKC có $\widehat{BKC}=90°$  nên là tam giác vuông tại K.

Xét $∆$AHD (vuông tại H) và $∆$BKC (vuông tại K) có:

DH = CK (giả thiết),

$\widehat{A\text{D}H}=\widehat{BCK}$ (chứng minh trên).

Suy ra $∆$AHD = $∆$BKC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Do đó AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Vậy AD = BC.

Bài 5 trang 92 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}>\widehat{C}.$ Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D.

a) Chứng minh $\widehat{A\text{D}B}<\widehat{A\text{D}C}$.

b) Kẻ tia Dx nằm trong góc ADC sao cho $\widehat{A\text{Dx}}=\widehat{A\text{D}B}$. Giả sử tia Dx cắt cạnh AC tại điểm E. Chứng minh: $∆$ABD = $∆$AED, AB < AC.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Xét tam giác ABD có: $\widehat{A\text{DC}}$ là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác nên $\widehat{A\text{D}C}=\widehat{BAD}+\widehat{B}$.

Xét tam giác ABD có: $\widehat{A\text{D}C}$ là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác nên $\widehat{ADB}=\widehat{CAD}+\widehat{C}$.

Mà AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (giả thiết) nên $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Lại có $\widehat{B}>\widehat{C}$ (giả thiết) nên $\widehat{BAD}+\widehat{B}>\widehat{CAD}+\widehat{\text{C}}$ hay $\widehat{A\text{D}C}>\widehat{A\text{D}B}$.

Vậy $\widehat{A\text{D}B}<\widehat{A\text{D}C}$

b) Xét $∆$ABD và $∆$AED có:

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (chứng minh trên),

AD chung,

$\widehat{A\text{D}B}=\widehat{A\text{D}E}$ (giả thiết).

Suy ra $∆$ABD = $∆$AED (g.c.g).

Vậy $∆$ABD = $∆$AED.

* Chứng minh AB < AC:

Cách 1:

Vì $∆$ABD = $∆$AED (chứng minh trên) nên AB = AE (hai cạnh tương ứng)

Mà AE < AC (do điểm E nằm trên cạnh AC)

Nên AB < AC.

Vậy AB < AC.

Cách 2: Xét tam giác ABC có $\widehat{B}>\widehat{C}$ (giả thiết)

Mà cạnh AB đối diện với góc C, cạnh AC đối diện với góc C

Do đó AC > AB.

Vậy AB < AC.

Bài 6 trang 92 Toán 7 Tập 2: Cho $∆$ABC = $∆$MNP. Tia phân giác của góc BAC và NMP lần lượt cắt các cạnh BC và NP tại D, Q. Chứng minh AD = MQ.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Vì $∆$ABC = $∆$MNP (giả thiết) nên:

+) $\widehat{BAC}=\widehat{NMP}$ và $\widehat{B}=\widehat{N}$ (các cặp góc tương ứng);

+) AB = MN (hai cạnh tương ứng).

Ta có:

+) AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (giả thiết) nên $\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

+) MQ là tia phân giác của $\widehat{NMP}$ (giả thiết) nên $\widehat{NMQ}=\frac{1}{2}\widehat{NMP}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Mà $\widehat{BAC}=\widehat{NMP}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{BAD}=\widehat{NMQ}$.

Xét $∆$ABD và $∆$MNQ có:

$\widehat{BAD}=\widehat{NMQ}$ (chứng minh trên),

AB = MN (chứng minh trên),

$\widehat{B}=\widehat{N}$ (chứng minh trên).

Suy ra $∆$ABD = $∆$MNQ (g.c.g).

Do đó AD = MQ (hai cạnh tương ứng).

Vậy AD = MQ.