Giải bài tập Toán 7 Bài 3: Phép cộng, phép trừ đa thức một biến 

A. Câu hỏi

Câu hỏi khởi động trang 54 Toán 7 Tập 2:

Một số tình huống trong cuộc sống dẫn đến việc cộng, trừ hai đa thức một biến, chẳng hạn, ta phải tính tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật (Hình 2) có độ dài cạnh đáy là x (m), 2x (m) và chiều cao là 2 (m).

Phép cộng, phép trừ hai đa thức một biến được thực hiện như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Để cộng hoặc trừ hai đa thức một biến ta làm một trong hai cách sau:

- Cách 1. Cộng (hoặc trừ) đa thức theo cột dọc:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột;

+ Cộng (hoặc trừ) hai đơn thức trong từng cột, ta có tổng cần tìm.

- Cách 2. Cộng (hoặc trừ) đa thức theo hàng ngang:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Viết tổng (hoặc hiệu) hai đa thức theo hàng ngang;

+ Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;

+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng (hoặc hiệu) cần tìm.

Hoạt động 1 trang 54 Toán 7 Tập 2:

a) Thực hiện phép cộng trong mỗi trường hợp sau: 5x² + 7x²; ax^k + bx^k (k ∈ ℕ*).

b) Nêu quy tắc cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến.

Lời giải:

a) Ta có:

5x² + 7x² = (5 + 7)x² = 12x²;

ax^k + bx^k = (a + b)x^k (k ∈ ℕ*).

b) Quy tắc cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến: Để cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng phần hệ số của hai đơn thức với nhau và giữ nguyên phần biến.

Hoạt động 2 trang 54 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức: P(x) = 5x² + 4 + 2x và Q(x) = 8x + x² + 1.

a) Sắp xếp các đa thức P(x), Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm đơn thức thích hợp trong dạng thu gọn của P(x) và Q(x) cho $\boxed{?}$ ở bảng sau rồi cộng hai đơn thức theo từng cột và thể hiện kết quả ở dòng cuối cùng của mỗi cột:

c) Dựa vào kết quả cộng hai đơn thức theo từng cột, xác định đa thức R(x).

Lời giải:

a) Sắp xếp đa thức theo số mũ giảm dần của biến:

P(x) = 5x² + 4 + 2x = 5x² + 2x + 4.

Q(x) = 8x + x² + 1 = x² + 8x + 1.

b) Ta có bảng sau:

c) Dựa vào kết quả ở bảng ta có đa thức R(x) = 6x² + 10x + 5.

Luyện tập 2 trang 55 Toán 7 Tập 2: Để cộng hai đa thức P(x), Q(x), bạn Dũng viết như dưới đây có đúng không? Vì sao? Nếu chưa đúng, em hãy sửa lại cho đúng.

Lời giải:

Bạn Dũng thực hiện cộng hai đa thức theo cột dọc chưa đúng vì các đơn thức 3x và 6 không có cùng số mũ của biến nên chúng không được viết ở cùng cột, tương tự như vậy với các đơn thức ‒1 và 2x cũng không được viết cùng cột.

Cách viết đúng là:

Hoạt động 3 trang 56 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức: P(x) = -2x² + 1 + 3x và Q(x) = -5x + 3x² + 4.

a) Sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.

b) Viết tổng P(x) + Q(x) theo hàng ngang.

c) Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau.

d) Tính tổng P(x) + Q(x) bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Lời giải:

a) Sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo số mũ giảm dần của biến:

P(x) = -2x² + 1 + 3x = -2x² + 3x + 1.

Q(x) = -5x + 3x² + 4 = 3x²  + (-5x) + 4 = 3x² - 5x + 4.

b) Viết tổng P(x) + Q(x) theo hàng ngang ta có:

P(x) + Q(x)

= (-2x² + 3x + 1) + (3x² - 5x + 4)

= -2x² + 3x + 1 + 3x² - 5x + 4.

c) Ta có: P(x) + Q(x)

= -2x² + 3x + 1 + 3x² - 5x + 4.

= (-2x² + 3x²) + (3x - 5x) + (1 + 4).

d) Ta có: P(x) + Q(x)

= (-2x² + 3x²) + (3x - 5x) + (1 + 4)

= x² - 2x + 5.

Vậy P(x) + Q(x) = x² - 2x + 5.

Luyện tập 2 trang 56 Toán 7 Tập 2: Tính tổng của hai đa thức sau bằng hai cách:

$P\left(x\right)=2x^3+\frac{3}{2}{x}^2+5x-2;$ 

Q(x) = -8x³ + 4x² + 6 + 3x.

Lời giải:

Ta sắp xếp đa thức Q(x) theo số mũ giảm dần như sau:

Q(x) = -8x³ + 4x² + 6 + 3x

Q(x) = -8x³ + 4x² + 3x + 6.

Cách 1. Tính tổng theo cột dọc:

Vậy $P\left(x\right)+Q\left(x\right)=-6{\text{x}}^3+\frac{11}{2}{x}^2+8x+4.$

Cách 2. Tính tổng theo hàng ngang:

P(x) + Q(x)

$=\left(2x^3+\frac{3}{2}{x}^2+5x-2\right)+\left(-8x^3+4x^2+6+3x\right)$

$=2x^3+\frac{3}{2}{x}^2+5x-2-8x^3+4x^2+6+3x$

$=\left(2x^3-8x^3\right)+\left(\frac{3}{2}{x}^2+4x^2\right)+\left(5x+3x\right)+\left(-2+6\right)$

$=-6x^3+\frac{11}{2}{x}^2+8x+4.$ 

Vậy $P\left(x\right)+Q\left(x\right)=-6x^3+\frac{11}{2}{x}^2+8x+4.$ 

Hoạt động 4 trang 57 Toán 7 Tập 2:

a) Thực hiện phép trừ trong mỗi trường hợp sau: 2x² - 6x²; ax^k - bx^k (k ∈ ℕ*).

b) Nêu quy tắc trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến.

Lời giải:

a) Ta có:

2x² - 6x² = (2 - 6)x² = -4x².

ax^k - bx^k = (a - b)x^k (k ∈ ℕ*).

b) Quy tắc trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến: Để trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta trừ phần hệ số của hai đơn thức với nhau và giữ nguyên phần biến.

Hoạt động 5 trang 57 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức: P(x) = 4x² + 1 + 3x và Q(x) = 5x + 2x² + 3.

a) Sắp xếp các đa thức P(x), Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm đơn thức thích hợp trong dạng thu gọn của đa thức P(x) và Q(x) cho $\boxed{?}$ ở bảng sau rồi trừ hai đơn thức theo từng cột và thể hiện kết quả ở dòng cuối cùng của mỗi cột:

c) Dựa vào kết quả trừ hai đơn thức theo từng cột, xác định đa thức S(x).

Lời giải:

a) Sắp xếp các đa thức P(x), Q(x) theo số mũ giảm dần của biến:

P(x) = 4x² + 1 + 3x = 4x² + 3x + 1.

Q(x) = 5x + 2x² + 3 = 2x² + 5x + 3.

b) Ta có bảng sau:

c) Dựa vào kết quả ở bảng ta có đa thức S(x) = 2x² - 2x - 2.

Luyện tập 3 trang 58 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức: $P\left(x\right)=2x^2-5x-\frac{1}{3}$ và $Q\left(x\right)=-6x^4+5x^2+\frac{2}{3} + 3x.$  

Tính hiệu P(x) - Q(x).

Lời giải:

Sắp xếp đa thức Q(x) theo số mũ giảm dần của biến x như sau:

$Q\left(x\right)=-6x^4+5x^2+\frac{2}{3} + 3x$

$Q\left(x\right)=-6x^4+5x^2+\frac{2}{3} + 3x.$

Ta có:

Vậy P(x) - Q(x) = 6x⁴ - 3x² - 8x - 1.

Hoạt động 6 trang 58 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức: P(x) = -3x² + 2 + 7x và Q(x) = -4x + 5x² + 1.

a) Sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.

b) Viết hiệu P(x) - Q(x) theo hàng ngang, trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc.

c) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q(x), nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau.

d) Tính hiệu của P(x) - Q(x) bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Lời giải:

a) Sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo số mũ giảm dần của biến ta có:

P(x) = -3x² + 2 + 7x = -3x² + 7x + 2.

Q(x) = -4x + 5x² + 1 = 5x² + (-4x) + 1 = 5x² - 4x + 1.

b) Viết hiệu P(x) - Q(x) theo hàng ngang trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc:

P(x) - Q(x)

= -3x² + 7x + 2 - (5x² - 4x + 1)

c) Bỏ dấu ngoặc và nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau ta có:

P(x) - Q(x)

= -3x² + 7x + 2 - (5x² - 4x + 1)

= -3x² + 7x + 2 - 5x² + 4x - 1

= (-3x² - 5x²) + (7x + 4x) + (2 - 1)

d) Tính hiệu:

P(x) - Q(x)

= (-3x² - 5x²) + (7x + 4x) + (2 - 1)

= -8x² + 11x + 1.

Vậy P(x) - Q(x) = -8x² + 11x + 1.

Luyện tập 4 trang 59 Toán 7 Tập 2: Tính hiệu P(x) - Q(x) bằng hai cách, trong đó:

P(x) = 6x³ + 8x² + 5x - 2;

Q(x) = -9x³ + 6x² + 3 + 2x.

Lời giải:

Cách 1. Tính hiệu theo cột dọc:

Ta sắp xếp đa thức Q(x) theo số mũ giảm dần của biến x được:

Q(x) = -9x³ + 6x² + 3 + 2x

Q(x) = -9x³ + 6x² + 2x + 3.

Thực hiện tính hiệu P(x) – Q(x):

Vậy P(x) - Q(x) = 15x³ + 2x² + 3x - 5.

Cách 2. Tính hiệu theo hàng ngang:

P(x) - Q(x)

= 6x³ + 8x² + 5x - 2 - (-9x³ + 6x² + 3 + 2x)

= 6x³ + 8x² + 5x - 2 + 9x³ - 6x² - 3 - 2x

= (6x³ + 9x³) + (8x² - 6x²) + (5x - 2x) + (-2 - 3)

= 15x³ + 2x² + 3x - 5.

Vậy P(x) - Q(x) = 15x³ + 2x² + 3x - 5.

B. Bài tập

Bài 1 trang 59 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức: R(x) = -8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1 và S(x) = x⁴ - 8x³ + 2x + 3. Tính:

a) R(x) + S(x);

b) R(x) - S(x).

Lời giải:

a) Cách 1: Tính tổng R(x) + S(x) theo cột dọc:

Vậy R(x) + S(x) = -7x⁴ - 2x³ + 2x² - 3x + 4.

Cách 2: Tính tổng R(x) + S(x) theo hàng ngang:

R(x) + S(x)

= (-8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1) + (x⁴ - 8x³ + 2x + 3)

= -8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1 + x⁴ - 8x³ + 2x + 3

= (-8x⁴ + x⁴) + (6x³ - 8x³) + 2x² + (-5x + 2x) + (1 + 3)

= -7x⁴ - 2x³ + 2x² - 3x + 4.

Vậy R(x) + S(x) = -7x⁴ - 2x³ + 2x² - 3x + 4.

b) Cách 1: Tính hiệu R(x) ‒ S(x) theo cột dọc:

Vậy R(x) - S(x) = -9x⁴ + 14x³ + 2x² - 7x - 2.

Cách 2: Tính hiệu R(x) ‒ S(x) theo hàng ngang:

R(x) - S(x) = (-8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1) - (x⁴ - 8x³ + 2x + 3)

= -8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1 - x⁴ + 8x³ - 2x - 3

= (-8x⁴ - x⁴) + (6x³ + 8x³) + 2x² + (-5x - 2x) + (1 - 3)

= -9x⁴ + 14x³ + 2x² - 7x - 2

Vậy R(x) - S(x) = -9x⁴ + 14x³ + 2x² - 7x - 2.

Bài 2 trang 59 Toán 7 Tập 2: Xác định bậc của hai đa thức là tổng, hiệu của:

A(x) = -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 và B(x) = 8x⁵ + 8x³ + 2x - 3.

Lời giải:

- Ta có thể thực hiện A(x) + B(x) theo hai cách

Cách 1: Cộng theo cột dọc:

Cách 2: Cộng theo hàng ngang:

A(x) + B(x) = -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 + 8x⁵ + 8x³ + 2x - 3

= (-8x⁵ + 8x⁵) + 6x⁴ + 8x³ + 2x² + (-5x + 2x) + (1 - 3)

= 6x⁴ + 8x³ + 2x² - 3x - 2

Do đó A(x) + B(x) = 6x⁴ + 8x³ + 2x² - 3x - 2

Vậy bậc của đa thức A(x) + B(x) là 4.

- Ta có thể thực hiện A(x) ‒ B(x) theo hai cách

Cách 1: Trừ theo cột dọc:

Cách 2: Trừ theo hàng ngang:

A(x) - B(x)

= -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 - (8x⁵ + 8x³ + 2x - 3)

= -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 - 8x⁵ - 8x³ - 2x + 3

= (-8x⁵ - 8x⁵) + 6x⁴ - 8x³ + 2x² + (-5x - 2x) + (1 + 3)

= -16x⁵ + 6x⁴ - 8x³ + 2x² - 7x + 4

Do đó A(x) - B(x) = -16x⁵ + 6x⁴ - 8x³ + 2x² - 7x + 4

Vậy bậc của đa thức A(x) - B(x) là 5.

Bài 3 trang 59 Toán 7 Tập 2: Bác Ngọc gửi ngân hàng thứ nhất 90 triệu đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất x%/năm. Bác Ngọc gửi ngân hàng thứ hai 80 triệu đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất (x + 1,5)%/năm. Hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi là bao nhiêu:

a) Ở ngân hàng thứ hai?

b) Ở cả hai ngân hàng?

Lời giải:

a) Khi hết kì hạn 1 năm thì tiền lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ hai là:

80 . (x + 1,5)% = $80.\frac{x+\mathrm{1,5}}{100}$ = $\frac{4}{5}$(x + 1,5) = 0,8x + 1,2 (triệu đồng).

Khi hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi ở ngân hàng thứ hai là:

80 + 0,8x + 1,2 = 0,8x + 81,2 (triệu đồng).

Vậy bác Ngọc nhận được 0,8x + 81,2 triệu đồng cả gốc lẫn lãi ở ngân hàng thứ hai khi hết kì hạn 1 năm.

b) Khi hết kì hạn 1 năm thì tiền lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ nhất là:

90 . x% = 90 . $\frac{x}{100}$ = $\frac{9}{10}$x = 0,9x (triệu đồng).

Khi hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi ở ngân hàng thứ nhất là:

90 + 0,9x (triệu đồng).

Khi hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi ở cả hai ngân hàng là:

0,8x + 81,2 + 90 + 0,9x = 1,7x + 171,2 (triệu đồng).

Vậy bác Ngọc nhận được 1,7x + 171,2 triệu đồng cả gốc lẫn lãi ở cả hai ngân hàng khi hết kì hạn 1 năm.

Bài 4 trang 59 Toán 7 Tập 2: Người ta rót nước từ một can đựng 10 lít nước sang một bể rỗng có dạng hình lập phương với độ dài cạnh 20 cm. Khi mực nước trong bể cao h (cm) thì thể tích nước trong can còn lại là bao nhiêu? Biết rằng 1 lít = 1 dm³.

Lời giải:

Thể tích nước trong bể khi mực nước có chiều cao h (cm) là:

20 . 20 . h = 400h (cm³).

Đổi 400h cm³ = 0,4h dm³; 10 lít = 10 dm³.

Thể tích nước trong can ban đầu là 10 dm³.

Thể tích nước trong bể hình lập phương chính là thể tích nước trong can rót ra nên thể tích nước còn lại trong can là: 10 - 0,4h (dm³).

Vậy thể tích nước trong can còn lại là 10 – 0,4h dm³.

Bài 5 trang 59 Toán 7 Tập 2: Bạn Minh cho rằng “Tổng của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn”. Bạn Quân cho rằng “Hiệu của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn”. Hai bạn Minh và Quân nói như vậy có đúng không? Giải thích vì sao.

Lời giải:

Minh và Quân nói như vậy là không đúng vì tổng hoặc hiệu của hai đa thức bậc bốn có thể không phải là đa thức bậc bốn.

Ví dụ như: Với hai đa thức A(x) = 2x⁴; B(x) = -2x⁴ + x²; C(x) = 2x⁴ + x.

Ta có:

A(x) + B(x) = 2x⁴ + (-2x⁴ + x²) = 2x⁴ - 2x⁴ + x² = (2x⁴ - 2x⁴) + x² = x² là đa thức bậc hai. Do đó Minh nói sai.

A(x) - C(x) = 2x⁴ - (2x⁴ + x) = 2x⁴ - 2x⁴ ‒ x = (2x⁴ - 2x⁴) ‒ x = ‒x là đa thức bậc một. Do đó Quân nói sai.