Giải bài tập Toán 7 Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh

A. Câu hỏi trong bài

Câu hỏi khởi động trang 84 Toán 7 Tập 2: Hai chiếc compa ở Hình 45 gợi nên hình ảnh hai tam giác ABC và A'B'C' có: AB = A'B', AC = A'C',   $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}.$ 

Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau hay không?

Lời giải

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Chứng minh (Hình 45):

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

AB = A'B' (giả thiết),

AC = A'C' (giả thiết),

$\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$ (giả thiết)

Suy ra $∆$ABC = ∆A'B'C' (c.g.c)

Vậy $∆$ABC = ∆A'B'C'.

Hoạt động 1 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC (Hình 46). Nêu hai cạnh của góc tại đỉnh A.

Lời giải

Trong tam giác ABC, hai cạnh của góc tại đỉnh A là cạnh AB và cạnh AC.

Hoạt động 2 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' (Hình 47) có: AB = A'B' = 2 cm, $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}=60°,$ AC = A'C' = 3 cm. Bằng cách đếm số ô vuông, hãy so sánh BC và B'C'. Từ đó có thể kết luận được hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau hay không?

 Lời giải

Quan sát Hình 47 ta có: Nếu coi độ dài cạnh ô vuông nhỏ là 1 đơn vị thì BC có độ dài bằng 6 cạnh của ô vuông nên bằng 6 đơn vị, B'C' có độ dài bằng 6 cạnh của ô vuông nên bằng 6 đơn vị.

Do đó BC = B'C'.

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C'

Suy ra $∆$ABC = $∆$A'B'C' (c.c.c)

Luyện tập 1 trang 85 Toán 7 Tập 2: Cho góc nhọn xOy. Hai điểm M, N thuộc tia Ox thoả mãn OM = 2 cm, ON = 3 cm. Hai điểm P, Q thuộc tia Oy thoả mãn OP = 2 cm, OQ = 3 cm. Chứng minh MQ = NP.

Lời giải

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)

Xét tam giác OMQ và tam giác OPN có:

OM = OP (= 2cm)

$\widehat{xOy}$ là góc chung

ON = OQ (= 3cm)

Suy ra $∆$OMQ = $∆$OPN (c.g.c)

Do đó MQ = NP (hai cạnh tương ứng)

Vậy MQ = NP.

Luyện tập 2 trang 85 Toán 7 Tập 2: Cho góc xOy có Oz là tia phân giác. Hai điểm M, N lần lượt thuộc Ox, Oy và khác O thoả mãn OM = ON, điểm P khác O và thuộc Oz. Chứng minh MP = NP.

Lời giải

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)

Vì tia Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{MOP}=\widehat{NOP}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Xét tam giác OMP và tam giác ONP có:

OM = ON (giả thiết)

$\widehat{MOP}=\widehat{NOP}$ (chứng minh trên)

OP là cạnh chung

Suy ra $∆$OMP = $∆$ONP (c.g.c)

Do đó MP = NP (hai cạnh tương ứng)

Vậy MP = NP.

B. Bài tập

Bài 1 trang 86 Toán 7 Tập 2: Chứng minh định lí: “Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn” (trang 74) thông qua việc giải bài tập sau đây:

Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D. Điểm E thuộc cạnh AC thoả mãn AE = AB. Chứng minh:

a) $∆$ABD = $∆$AED;

b) $\widehat{B}>\widehat{C}.$ 

Lời giải

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)

a) Vì tia AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$. (tính chất tia phân giác của một góc)

Xét tam giác ABD và tam giác AED có:

AB = AE (giả thiết)

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (chứng minh trên)

AD là cạnh chung

Suy ra ∆ABD = ∆AED (c.g.c)

Vậy ∆ABD = ∆AED.

b) Vì ∆ABD = ∆AED (theo câu a)

Nên $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác DEC có $\widehat{AED}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh E

Nên $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (tính chất góc ngoài của một tam giác)

Suy ra $\widehat{AED}=\widehat{EDC}+\widehat{C}$ 

Do đó $\widehat{ABD}>\widehat{C}$ hay $\widehat{B}>\widehat{C}$ 

Vậy $\widehat{B}>\widehat{C}$

Bài 2 trang 86 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 53 có AD = BC, IC = ID, các góc tại đỉnh C, D, H là góc vuông.

Chứng minh:

a) IA = IB;

b) IH là tia phân giác của góc AIB.

Lời giải

Chứng minh (Hình 53)

a) Vì $\widehat{C}=\widehat{D}=\widehat{H}=90°$(giả thiết) nên tam giác ADI vuông tại D, tam giác BCI vuông tại C, tam giác AHI và BHI vuông tại H.

Xét tam giác ADI (vuông tại D) và tam giác BCI (vuông tại C) có:

AD = BC (giả thiết)

DI = CI (giả thiết)

Suy ra ∆ADI = ∆BCI (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AI = BI (hai cạnh tương ứng)

Vậy AI = BI.

b) Xét tam giác AHI (vuông tại H) và tam giác BHI (vuông tại H) có:

IH là cạnh chung

AI = BI (chứng minh trên)

Suy ra ∆AHI = ∆BHI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó $\widehat{AIH}=\widehat{BIH}$ (hai góc tương ứng)

Nên tia IH là tia phân giác của góc AIB.

Vậy IH là tia phân giác của góc AIB.

Bài 3 trang 86, trang 87 Toán 7 Tập 2: Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Các kĩ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho người dân hai xã. Để thuận lợi cho người dân đi lại, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của cây cầu sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến chân cầu là nhỏ nhất. Bạn Nam đề xuất cách xác định vị trí của cây cầu như sau (Hình 54):

– Kí hiệu điểm A chỉ vị trí xã thứ nhất, điểm B chỉ vị trí xã thứ hai, đường thẳng d chỉ vị trí bờ sông Lam.

– Kẻ AH vuông góc với d (H thuộc d), kéo dài AH về phía H và lấy điểm C sao cho AH = HC.

– Nối C với B, CB cắt đường thẳng d tại điểm E.

Khi đó, E là vị trí của cây cầu.

Bạn Nam nói rằng: Lấy một điểm M trên đường thẳng d, M khác E thì MA + MB > EA + EB.

Em hãy cho biết bạn Nam nói đúng hay sai. Vì sao?

Lời giải

Vị trí của hai xã và bờ sông Lam được mô tả như hình vẽ.

Chứng minh (Hình dưới đây):

Nối đoạn thẳng CM.

+) Vì $AH\perp d$ (H ∈ d) nên $\widehat{AHE}=\widehat{CHE}=90°$ 

Do đó tam giác AHE (vuông tại H) và tam giác CHE (vuông tại H).

Xét tam giác AHE (vuông tại H) và tam giác CHE (vuông tại H) ta có:

AH = CH (giả thiết)

HE là cạnh chung

Suy ra ∆AHE = ∆CHE (hai cạnh góc vuông)

Do đó AE = CE (hai cạnh tương ứng)

Nên EA + EB = EC + EB = BC. (1)

+) Chứng minh tương tự với hai tam giác AHM (vuông tại H) và CHM (vuông tại A) có:

AH = CH (giả thiết)

AM là cạnh chung

Suy ra ∆AHM = ∆CHM (hai cạnh góc vuông)

Do đó AM = CM (hai cạnh tương ứng)

Nên MA + MB = MC + MB (2)

+ Xét tam giác BCM có: MC + MB > BC (bất đẳng thức tam giác) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: MA + MB > EA + EB.

Vậy MA + MB > EA + EB.

Bài 4 trang 87 Toán 7 Tập 2: Cho $∆$ABC = $∆$MNP. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA; Q, R lần lượt là trung điểm của NP và PM. Chứng minh:

a) AD = MQ;

b) DE = QR.

Lời giải

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)

Vì $∆$ABC = $∆$MNP (giả thiết) nên:

+) AC = MP (hai cạnh tương ứng)

+) BC = NP (hai cạnh tương ứng)

+) $\widehat{C}=\widehat{P}$ (hai góc tương ứng)

Vì D là trung điểm của BC (giả thiết) nên BD = DC = $\frac{1}{2}BC$;

E là trung điểm của AC (giả thiết) nên AE = EC = $\frac{1}{2}AC$;

Q là trung điểm của NP (giả thiết) nên NQ = QP = $\frac{1}{2}NP$;

R là trung điểm của MP (giả thiết) nên MR = RP = $\frac{1}{2}MP$.

Do đó ta có BD = DC = NQ = QP và AE = EC = MR = RP.

a) Xét tam giác ADC và tam giác MQP có:

AC = MP (chứng minh trên)

$\widehat{C}=\widehat{P}$ (chứng minh trên)

DC = QP (chứng minh trên)

Suy ra $∆$ADC = $∆$MQP (c.g.c)

Do đó AD = MQ (hai cạnh tương ứng)

Vậy AD = MQ.

b) Xét tam giác CDE và tam giác PQR có:

CD = PQ (chứng minh trên)

$\widehat{C}=\widehat{P}$ (chứng minh trên)

CE = PR (chứng minh trên)

Suy ra $∆$CDE = $∆$PQR (c.g.c)

Do đó DE = QR (hai cạnh tương ứng)

Vậy DE = QR.