Giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tam giác cân  

A. Câu hỏi trong bài

Câu hỏi khởi động trang 93 Toán 7 Tập 2: Cầu Long Biên bắc qua sông Hồng ở Thủ đô Hà Nội gợi nên hình ảnh tam giác ABC có sự đối xứng và cân bằng.

Tam giác ABC như vậy gọi là tam giác gì?

Lời giải

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Tam giác ABC mô tả cầu Long Biên ở hình vẽ trên là tam giác cân.

Hoạt động 1 trang 93 Toán 7 Tập 2: Trong Hình 68, hai cạnh AB và AC của tam giác ABC có bằng nhau hay không?

Lời giải

Ta coi độ dài cạnh ô vuông nhỏ là 1 đơn vị.

Khi đó cạnh AB là đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài bằng 4 đơn vị và chiều rộng bằng 2 đơn vị.

Ta cũng có cạnh AC là đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài bằng 4 đơn vị và chiều rộng bằng 2 đơn vị.

Do đó AB = AC.

Vậy hai cạnh AB và AC của tam giác ABC có bằng nhau.

Hoạt động 2 trang 94 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D (Hình 72).

a) Hai tam giác ABD và ACD có bằng nhau hay không? Vì sao?

b) Hai góc B và C có bằng nhau hay không? Vì sao?

Lời giải

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Vì AD là tia phân giác của góc A nên $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\frac{1}{2}\widehat{A}.$ 

a) Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

AB = AC (chứng minh trên)

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (chưng minh trên)

Cạnh AD là cạnh chung

Do đó $∆$ABD = $∆$ACD (c.g.c)

Vậy $∆$ABD = $∆$ACD.

b) Vì $∆$ABD = $∆$ACD (chứng minh câu a)

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $\widehat{B}=\widehat{C}$

Hoạt động 3 trang 94 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC thoả mãn $\widehat{B}=\widehat{C}$. Kẻ AH vuông góc với BC, H thuộc BC (Hình 74).

a) Hai tam giác BAH và CAH có bằng nhau hay không? Vì sao?

b) Hai cạnh AB và AC có bằng nhau hay không? Vì sao?

Lời giải

a) Vì AH ⊥ BC (H ∈ BC) nên $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$

Do đó tam giác ABH vuông tại H, tam giác ACH vuông tại H

Xét tam giác ABH vuông tại H có: $\widehat{BAH}+\widehat{B}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Tam giác ACH vuông tại H có: $\widehat{CAH}+\widehat{C}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Mà $\widehat{B}=\widehat{C}$ (giả thiết)

Do đó $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$

Xét tam giác ABH (vuông tại H) và tam giác ACH (vuông tại H) có:

AH là cạnh chung

$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$

Do đó $∆$ABH = $∆$ACH (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Vậy $∆$ABH = $∆$DACH.

b) Vì $∆$ABH = $∆$ACH (chứng minh câu a)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Vậy AB = AC.

Luyện tập trang 95 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua điểm M nằm giữa A và B kẻ đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC tại N. Chứng minh tam giác AMN cân.

Lời giải

Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên $\widehat{B}=\widehat{C}$ 

Vì MN // BC nên $\widehat{M}=\widehat{B}$ và $\widehat{N}=\widehat{C}$ (các cặp góc đồng vị)

Mà tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên $\widehat{B}=\widehat{C}$ 

Suy ra $\widehat{M}=\widehat{N}$ 

Do đó tam giác AMN cân tại A.

Vậy tam giác AMN cân tại A.

Hoạt động 4 trang 95, trang 96 Toán 7 Tập 2: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ tam giác cân ABC có cạnh đáy BC = 4 cm, cạnh bên AB = AC = 3 cm.

Để vẽ tam giác ABC, ta làm như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng BC = 4 cm

Bước 2. Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính 3 cm và một phần đường tròn tâm C bán kính 3 cm, chúng cắt nhau tại điểm A.

Bước 3. Vẽ các đoạn thẳng AB, AC. Ta nhận được tam giác ABC.

B. Bài tập

Bài 1 trang 96 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của cạnh AC và N là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh BM = CN.

Lời giải

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)

Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên $\widehat{B}=\widehat{C}$ và  AB = AC (1)

Mà M là trung điểm cạnh AC (giả thiết) nên AM = MC $=\frac{1}{2}AC$ (2)

N là trung điểm cạnh AB (giả thiết) nên AN = NB $=\frac{1}{2}AB$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AM = MC = AN = NB

 Xét tam giác BNC và tam giác CMB có:

BN = CM (chứng minh trên)

$\widehat{B}=\widehat{C}$(chứng minh trên)

BC là cạnh chung

Do đó $∆$BNC = $∆$CMB (c.g.c)

Suy ra CN = BM (hai cạnh tương ứng)

Vậy BM = CN.

Bài 2 trang 96 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=120°.$ Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Đường thẳng qua D song song với AB cắt cạnh AC tại E. Chứng minh rằng tam giác ADE đều.

Lời giải

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)

Vì AD là tia phân giác góc A (giả thiết)

Nên $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Mà $\widehat{BAC}=120°$ nên $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.120°=60°$ 

Lại có DE // AB (giả thiết) nên $\widehat{ADE}=\widehat{BAD}=60°$ (hai góc so le trong)

Do đó tam giác ADE có $\widehat{DAE}=\widehat{ADE}=60°$ 

Suy ra tam giác ADE là tam giác cân có một góc bằng 60°.

Suy ra tam giác ADE là tam giác đều.

Vậy tam giác ADE là tam giác đều.

Bài 3 trang 96 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh tam giác MAB vuông cân.

Lời giải

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)

+) Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và $\widehat{A}=90°,$ $\widehat{B}=\widehat{C}=45°$ 

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AM là cạnh chung

MB = MC (M là trung điểm của BC)

AB = AC (chứng minh trên)

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng)

Nên tia AM là tia phân giác của góc A

Do đó $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\frac{1}{2}.\widehat{A}=\frac{1}{2}.90°=45°$

+) Xét tam giác MAB có $\widehat{B}=45°,\widehat{BAM}=45°$ 

Do đó tam giác MAB cân tại M. (1)

Lại có $\widehat{BMA}=\widehat{CMA}$ (hai góc tương ứng của $∆$ABM = $∆$ACM)

Mà $\widehat{BMA}+\widehat{CMA}=180°$(tính chất hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{BMA}=\widehat{CMA}=\frac{1}{2}.180°=90°$

Nên tam giác MAB vuông tại M. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác MAB vuông cân tại M.

Bài 4 trang 96 Toán 7 Tập 2: Trong Hình 76, cho biết các tam giác ABD và BCE là các tam giác đều và A, B, C thẳng hàng. Chứng minh rằng:

a) AD // BE và BD // CE;

b) $\widehat{ABE}=\widehat{DBC}=120°;$ 

c) AE = CD.

Lời giải

Chứng minh (Hình 76):

a) Vì tam giác ABD đều (giả thiết)

Nên AB = BD = AD và $\widehat{DAB}=\widehat{DBA}=\widehat{ADB}=60°$ 

Tam giác BCE đều (giả thiết)

Nên BC = CE = BE và $\widehat{ECB}=\widehat{EBC}=\widehat{CEB}=60°$ 

Vì $\widehat{DAB}=\widehat{EBC}\left(=60°\right)$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Nên AD // BE (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Vì $\widehat{DBA}=\widehat{ECB}\left(=60°\right)$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Nên BD // CE (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Vậy AD // BE và BD // CE.

b) Vì $\widehat{ABE}$ và $\widehat{EBC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{ABE}+\widehat{EBC}=180°$ (tính chất hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{ABE}=180°-\widehat{EBC}=180°-60°=120°$

Tương tự ta cũng có $\widehat{DBA}+\widehat{DBC}=180°$ (tính chất hai góc kề bù)

Nên $\widehat{DBC}=180°-\widehat{DBA}=180°-60°=120°$

Vậy $\widehat{ABE}=\widehat{DBC}=120°.$

c) Xét tam giác ABE và tam giác DBC có:

AB = DB (chứng minh trên)

$\widehat{ABE}=\widehat{DBC}\left(=120°\right)$ (chứng minh trên)

BE = BC (chứng minh trên)

Do đó $∆$ABE = $∆$DBC (c.g.c)

Suy ra AE = CD (hai cạnh tương ứng)

Vậy AE = CD.

Bài 5 trang 96 Toán 7 Tập 2: Trong thiết kế của một ngôi nhà, độ nghiêng của mái nhà so với phương nằm ngang phải phù hợp với kết cấu của ngôi nhà và vật liệu làm mái nhà. Hình 77 mô tả mặt cắt đứng của ngôi nhà, trong đó độ nghiêng của mái nhà so với phương nằm ngang được biểu diễn bởi số đo góc ở đáy của tam giác ABC cân tại A.

Tính độ nghiêng của mái nhà so với mặt phẳng nằm ngang trong mỗi trường hợp sau:

a) Góc ở đỉnh A là (khoảng) 120° đối với mái nhà lợp bằng ngói;

b) Góc ở đỉnh A là (khoảng) 140° đối với mái nhà lợp bằng fibro xi măng;

c) Góc ở đỉnh A là (khoảng) 148° đối với mái nhà lợp bằng tôn.

Lời giải

Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}$ 

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{B}=180°$ 

Hay $2\widehat{B}=180°-\widehat{A}$ 

Do đó $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180°-\widehat{A}}{2}$

a) Góc ở đỉnh A là (khoảng) 120° đối với mái nhà lợp bằng ngói nên $\widehat{A}=120°$ 

Do đó $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180°-120°}{2}=30°$

Vậy độ nghiêng của mái nhà so với mặt phẳng nằm ngang trong trường hợp này là 30°.

b) Góc ở đỉnh A là (khoảng) 140° đối với mái nhà lợp bằng fibro xi măng nên $\widehat{A}=140°$ 

Do đó $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180°-140°}{2}=20°$

Vậy độ nghiêng của mái nhà so với mặt phẳng nằm ngang trong trường hợp này là 20°.

c) Góc ở đỉnh A là (khoảng) 148° đối với mái nhà lợp bằng tôn nên $\widehat{A}=148°$

Do đó $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180°-148°}{2}=16°$

Vậy độ nghiêng của mái nhà so với mặt phẳng nằm ngang trong trường hợp này là 16°.