Giải bài tập Toán 7 : Bài tập cuối chương 7  

Bài 1 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có: $\widehat{A}=42°,\widehat{B}=37°.$

a) Tính $\widehat{C}$.

b) So sánh độ dài các cạnh AB, BC, CA.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}=180°-42°-37°=101°$.

Vậy $\widehat{C}=101°.$ 

b) Ta có: 37° < 42° < 101° nên $\widehat{B}<\widehat{A}<\widehat{C}$.

Do đó CA < BC < AB (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

Vậy CA < BC < AB.

Bài 2 trang 119 Toán 7 Tập 2: Tìm các số đo x, y trong Hình 140.

Lời giải:

Xét tam giác ABO có OA = AB = BO nên tam giác ABO đều.

Do đó x = 60°.

Tam giác OAC có OA = OC nên tam giác OAC cân tại O.

Do đó $y=\widehat{OAC}=\widehat{OAC}$.

Ta có $\widehat{AOB}$ là góc ngoài tại đỉnh O của $∆$OAC nên $\widehat{AOB}=\widehat{OCA}+\widehat{OAC}$.

hay x = y + y = 2y.

Suy ra 2y = 60°

Do đó y = 30°.

Vậy x = 60° và y = 30°.

Bài 3 trang 119 Toán 7 Tập 2: Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 và xem xe buýt có thể đi như thế nào giữa hai vị trí A và B. Đường thứ nhất đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B, đường thứ hai đi từ B đến A (Hình 141). Theo em, đường nào đi dài hơn? Vì sao?

Lời giải:

Ba vị trí A, B, C mà bạn Hoa đánh dấu tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC (Hình 141).

Khi đó trong tam giác ABC ta có: AC + CB > BA (Bất đẳng thức tam giác)

Vậy đường thứ nhất dài hơn đường thứ hai.

Bài 4 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh: AI = MK.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Xét $∆$ABC và $∆$MNP có:

AB = MN (giả thiết).

BC = NP (giả thiết).

CA = PM (giả thiết).

Do đó $∆$ABC = $∆$MNP  (c.c.c).

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$.

Do I, K lần lượt là trung điểm của BC và NP nên $BI=IC=\frac{1}{2}BC$ và $NK=KP=\frac{1}{2}NP$ 

Mà BC = NP (giả thiết) nên BI = NK.

Xét $∆$ABI và $∆$MNK có:

AB = MN (giả thiết).

$\widehat{ABI}=\widehat{MNK}$ (chứng minh trên).

BO = NK (chứng minh trên).

Do đó $∆$ABI = $∆$MNK (c.g.c).

Suy ra AI = MK (hai cạnh tương ứng).

Vậy AI = MK.

Bài 5 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N.

Chứng minh:

a) Nếu OM = ON thì AM // BN;

b) Nếu AM // BN thì OM = ON.

Lời giải:

a)

Chứng minh (Hình 142):

Xét $∆$OAM và $∆$OBN có:

AO = BO (do M là trung điểm của AB),

$\widehat{AOM}=\widehat{BON}$ (hai góc đối đỉnh),

OM = ON (giả thiết).

Do đó $∆$OAM = $∆$OBN (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AM\text{O}}=\widehat{BNO}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BN (dấu hiệu nhận biết)

Vậy AM //BN.

b)

Chứng minh (Hình 142):

Do AM // BN (giả thiết) nên $\widehat{MAO}=\widehat{NBO}$ (hai góc so le trong).

Xét $∆$OAM và $∆$OBN có:

$\widehat{MAO}=\widehat{NBO}$ (chứng minh trên),

AO = BO (do M là trung điểm của AB),

$\widehat{AOM}=\widehat{BON}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó $∆$OAM = $∆$OBN (g.c.g).

Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng).

Vậy OM = ON.

Bài 6 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có

$\widehat{ABC}=70°$. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC.

b) Chứng minh BD = CE.

c) Chứng minh tia AH là tia phân giác của góc BAC.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết)

Nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=70°$ (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác ABC có $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=180°-70°-70°=40°$.

Vậy $\widehat{ACB}=70°$ và $\widehat{BAC}=40°.$ 

b) Xét $∆$ADB (vuông tại D) và $∆$ACE (vuông tại E) có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{A}$ là góc chung,

Do đó $∆$ABD = $∆$ACE (cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng).

Vậy BD = CE.

c) Vì $∆$ABD = $∆$ACE (chứng minh câu a) nên AD = AE (hai cạnh tương ứng).

Xét $∆$AHE (vuông tại E) và $∆$AHD (vuông tại D) có:

AE = AD (chứng minh trên),

AH là cạnh chung.

Do đó $∆$AHE  = $∆$AHD (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{HA\text{E}}=\widehat{HA\text{D}}$ (hai góc tương ứng).

Do đó AH là tia phân giác của $\widehat{EAD}$.

Vậy AH là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Bài 7 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hai đường cao BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai đường cao CP và DQ của tam giác ECD cắt nhau tại K (Hình 143). Chứng minh AI // EK.

Lời giải:

Chứng minh (Hình 143):

Vì $∆$ABC có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I (giả thiết) nên I là trực tâm của $∆$ABC.

Suy ra AI $\perp$ BC.

Vì $∆$ECD có hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K (giả thiết) nên K là trực tâm của $∆$ECD.

Suy ra EK $\perp$ CD.

Mà B, C, D thẳng hàng (giả thiết) nên

• AI $\perp$ BC (chứng minh trên)  suy ra AI $\perp$ BD;

• EK $\perp$ CD (chứng minh trên) suy ra EK $$ BD.

Do đó AI // EK (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song)

Vậy AI // EK.

Bài 8 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144).

Chứng minh:

a) $∆$OMA = $∆$OMB và tia MO là tia phân giác của góc NMP;

b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Lời giải:

Chứng minh (Hình 144):

a) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét $∆$OAM (vuông tại A) và $∆$OBM (vuông tại B) có:

OM là cạnh chung,

OA = OB (chứng minh trên),

Do đó $∆$OAM = $∆$OBM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{OM\text{A}}=\widehat{OMB}$ (hai góc tương ứng).

Khi đó MO là tia phân giác của $\widehat{BMA}$ hay MO là tia phân giác của $\widehat{NMP}$.

Vậy tia MO là tia phân giác của $\widehat{NMP}$

b) Nối OP (Hình vẽ dưới đây):

Xét $∆$OAP (vuông tại A) và $∆$OCP (vuông tại C) có:

OP là cạnh chung,

OA = OC (chứng minh trên),

Do đó $∆$OAP = $∆$OCP (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{OP\text{A}}=\widehat{OPC}$ (hai góc tương ứng).

Khi đó PO là tia phân giác của $\widehat{APC}$ hay PO là tia phân giác của $\widehat{MPN}$.

Trong một tam giác, ba đường phân giác của tam giác đó luôn cùng đi qua một điểm

Mà O là giao điểm hai đường phân giác của góc $\widehat{NMP}$ và góc $\widehat{MPN}$, do đó O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Vậy O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

a)

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

+) Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó AM là đường trung tuyến của $∆$ABC.

Lại có G là trọng tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường trung tuyến AM đi qua trọng tâm G của tam giác.

Do đó A, G, M thẳng hàng (1).

+) Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Xét $∆$AMB và $∆$AMC có:

AK là cạnh chung,

MB = MC (chứng minh trên),

AB = AC (chứng minh trên),

Do đó $∆$AMB = $∆$AMC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180°}{2}=90°$.

Do đó AM $\perp$ BC hay AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Mặt khác H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua trực tâm H của tam giác.

Do đó A, H, M thẳng hàng (2).

+) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét $∆$OBM và $∆$OCM có:

OK là cạnh chung,

OB = OC (chứng minh trên),

MB = MC (chứng minh trên),

Do đó $∆$OBM = $∆$OCM (c.c.c).

Suy ra $\widehat{OMB}=\widehat{OMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{OMB}+\widehat{OMC}=180°$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{OMB}=\widehat{OMC}=\frac{180°}{2}=90°$.

Do đó OK $\perp$ BC.

Lại có AM $\perp$ BC (chứng minh trên)

Suy ra A, O, M thẳng hàng (3).

+) Do BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Do CI là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ICB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ 

Tam giác IBC có $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ nên tam giác IBC cân tại I, do đó IB = IC.

Xét $∆$IBM và $∆$ICM có:

IB = IC (chứng minh trên),

$\widehat{IBM}=\widehat{ICM}$ (do $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$),

MB = MC (chứng minh trên),

Do đó $∆$IBM = $∆$ICM (c.g.c).

Suy ra $\widehat{IMB}=\widehat{IMC}$(hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{IKB}+\widehat{IKC}=180°$ (hai góc tương ứng) nên $\widehat{IMB}=\widehat{IMC}=\frac{180°}{2}=90°$.

Do đó IM $\perp$ BC.

Lại có AM $\perp$ BC (chứng minh trên)

Suy ra A, I, K thẳng hàng (4).

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có A, G, H, I, O thẳng hàng.

Vậy các điểm A, G, H, I, O thẳng hàng khi tam giác ABC cân tại A.

b)

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Gọi M là chân đường cao kẻ từ A tới BC.

Do đó AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Mà H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua điểm H.

Khi đó ba điểm A, H, M thẳng hàng.

Mà A, H, I thẳng hàng (giả thiết) nên A, H, I, K thẳng hàng.

Mà AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên AM là đường phân giác của $\widehat{BAC}$.

Do đó $\widehat{\text{MA}B}=\widehat{\text{MA}C}$.

Xét $∆$ABM (vuông tại M) và $∆$ACM (vuông tại M) có:

$\widehat{\text{MA}B}=\widehat{\text{MA}C}$ (chứng minh trên),

AM là cạnh chung,

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Bài 10 trang 120 Toán 7 Tập 2: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình.

Lời giải:

Để tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất thì AD là nhỏ nhất.

Khi đó theo tính chất đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, ta thấy DA nhỏ nhất khi AD là đường vuông góc kẻ từ D tới BC (tức là AD $\perp$ BC) hay D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.

Ta xác định điểm D như sau:

Bước 1. Kẻ hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.

Bước 2. Gọi H là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.

Khi đó H chính là trực tâm của tam giác ABC.

Suy ra đường cao AD của tam giác ABC đi qua điểm H.

Do đó HD $\perp$ BC tại D.

Bước 3. Từ H kẻ đường vuông góc với BC, cắt BC tại một điểm.

Điểm này chính là điểm D cần tìm.

Ta có hình vẽ sau:

Bài 11 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có $\widehat{M}=40°,\widehat{N}=70°.$ Khi đó $\widehat{P}$ bằng:

A. 10°

B. 55°;

C. 70°;

D. 110°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

Trong tam giác MNP có: $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

$\widehat{P}=180°-\widehat{M}-\widehat{N}=180°-40°-70°=70°$.

Vậy $\widehat{P}=70°.$ 

Bài 12 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP có trực tâm H. Khi đó, góc HMN bằng góc nào sau đây?

A. Góc HPN.

B. Góc NMP.

C. Góc MPN.

D. Góc NHP.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A.

Gọi A và B lần lượt là chân đường cao kẻ từ M và P của tam giác MNP.

Xét tam giác MNA vuông tại A có $\widehat{ANM}+\widehat{AMN}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn phụ nhau).

Suy ra $\widehat{AMN}=90°-\widehat{ANM}$ hay $\widehat{HMN}=90°-\widehat{MNP}$  (1)

Xét tam giác BNP vuông tại B có $\widehat{BNP}+\widehat{BPN}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{BPN}=90°-\widehat{BNP}$  hay $\widehat{HPN}=90°-\widehat{MNP}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat{HMN}=\widehat{HPN}$.

Vậy $\widehat{HMN}=\widehat{HPN}.$

Bài 13 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có MN = 1 dm, NP = 2 dm, MP = x dm với x ∈ {1; 2; 3; 4}. Khi đó, x nhận giá trị nào?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét tam giác MNP ta có:

NP - MN < MP < NP + MN (bất đẳng thức tam giác)

Hay 2 – 1 < x < 2 + 1

Do đó: 1 < x  < 3.

Mà x $\in$ {1; 2; 3; 4} nên x = 2.

Vậy x = 2.

Bài 14 trang 120 Toán 7 Tập 2: Nếu tam giác MNP có trọng tâm G, đường trung tuyến MI thì tỉ số $\frac{MG}{MI}$ bằng

A. $\frac{3}{4}$.

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{2}{3}$.

D. $\frac{1}{3}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì G là trọng tâm của tam giác MNP nên $\frac{MG}{MI}=\frac{2}{3}$.

Vậy $\frac{MG}{MI}=\frac{2}{3}$