Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M( 2m3; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 (C) một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
A. −1;
B. 0;
C. 1;
D. 2.
Giải bởi Vietjack
Ta có: y’ = 6x2 – 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)
y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)6x2 – 6(2m + 1)x + 6m(m + 1) = 0
\( \Leftrightarrow \)x2 – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0
∆ = 4m2 + 4m + 1 – 4(m2 + m) = 1
Suy ra y’ = 0 có hai nghiệm: \[\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{2m + 1 + 1}}{2} = m + 1\\{x_2} = \frac{{2m + 1 - 1}}{2} = m\end{array} \right.\].
Do đó hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m.
+) Tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là: A(m; 2m3 + 3m2 + 1);
B(m + 1; 2m3 + 3m2).
Suy ra \(AB = \sqrt {{{(m - m - 1)}^2} + {{\left( {2{m^3} + 3{m^2} + 1 - 2{m^3} - 3{m^2}} \right)}^2}} = \sqrt 2 \).
Và phương trình đường thẳng AB là:
x + y – 2m3 – 3m2 – m – 1 = 0.
Do đó ∆MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.
\({d_{(M;AB)}} = \frac{{\left| {2{m^3} + m - 2{m^3} - 3{m^2} - m - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3{m^2} + 1}}{{\sqrt 2 }} \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra \(\min {d_{(M;AB)}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Dấu “=” xảy ra khi m = 0.
Vậy với m = 0 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Ba tổ công nhân có mức sản xuất tỉ lệ với 5; 4; 3. Tổ I tăng năng suất 10%, tổ II tăng năng suất 20%, tổ III tăng năng suất 10%. Do đó trong cùng một thời gian, tổ I làm được nhiều sản phầm hơn tổ II là 7 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm được trong thời gian đó khi chưa tăng năng suất làm việc.
M có phải là số chính phương không nếu:
M = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) Với n ∈ ℕ; n ≠ 0.
Lớp 4A có 32 học sinh. Hôm nay có 3 bạn nữ nghỉ học nên số nam nhiều hơn số nữ là 5 bạn. Hỏi lớp 4A có bao nhiêu học sinh nữ,bao nhiêu học sinh nam?
So sánh M và N biết: \(M = \frac{{{{100}^{100}} + 1}}{{{{100}^{99}} + 1}}\) và \(N = \frac{{{{100}^{101}} + 1}}{{{{100}^{100}} + 1}}\).
Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1; 2; 3; 4; … Hỏi chữ số thứ 659 là chữ số nào?
Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC). M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh ∆AMB = ∆AMC và \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)
b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại N. Chứng minh ∆MNC cân.
c) Chứng minh: N trung điểm của AC.
Biết rằng 15 công nhân sửa xong 1 đoạn đường phải hết 6 ngày. Hỏi muốn sửa xong đoạn đường đó trong 3 ngày thì cần bổ sung bao nhiêu công nhân nữa?
Có 24 cái cốc được xếp đều vào 4 hộp. Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu cái?
Tìm số dư của phép chia 235 : 17,2 nếu thương chỉ lấy đến hai chữ số ở phần thập phân
Từ các chữ số 1; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Kẻ đường kính CD. Tia phân giác của \(\widehat {BOD}\) cắt AB tại E.
a) Chứng minh rằng ED là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh AC + DE ≥ 2R.
c) Tính số đo \(\widehat {AOE}\).
Rút gọn biểu thức sau: \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}\).
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình:
mx2 – (3m + 2)x + 1 = 0 luôn có nghiệm.
