Trung bình cộng của các số:

(26,45 + 45,12 + 12,43) : 3 = 28.

Vậy trung bình cộng của các số trên là 28.

Ta có:

(3x – 1)(y + 4) = 13

Suy ra 3x -1 ; y + 4 là các ước của 13.

\( \Rightarrow \) ( 3x – 1; y + 4) ∈ {(1; 13); (−1; −13); (13; 1); (−13; −1)}

\( \Rightarrow \) (x, y) ∈ \[\left\{ {\left( {\frac{2}{3};9} \right);\left( {\frac{{14}}{3}; - 3} \right);\left( {0; - 17} \right);\left( { - 4; - 5} \right)} \right\}\]

Mà x, y ∈ ℤ nên ta có: x, y ∈ {(0; −17); (−4; −5)}.

Ta có: (5x – 1)(y + 1) = −4

Suy ra 5x – 1; y + 1 là các ước của −4.

\( \Rightarrow \) ( 5x – 1; y + 1) ∈ {(1; −4); (−1; 4); (2; −2); (−2; 2); (4; −1); (−4; 1)}

\( \Rightarrow \) (x, y) ∈ \(\left\{ {\left( {\frac{2}{5}; - 5} \right);\left( {0;3} \right);\left( {\frac{3}{5}; - 3} \right);\left( {\frac{{ - 1}}{5};1} \right);\left( {1; - 2} \right);\left( {\frac{{ - 3}}{5};0} \right)} \right\}\).

Mà x, y ∈ ℤ nên ta có: x, y ∈ {(0; 3); (1; −2)}.

(−|−7|).[(−2)⁴ + (−36) : (−3)²] – (−5)³

= (−7).(16 – 36 : 9) + 5³

= (−7).(16 – 4) + 125

= (−7).12 + 125

= 125 – 84 = 41.

• Cách 1: 5 ´ 2 ´ 7 = (5 ´ 2) ´ 7 = 10 ´ 7 = 70;

• Cách 2: 5 ´ 2 ´ 7 = 5 ´ (2 ´ 7) = 5 ´ 14 = 70.

a) 2(x – 5) – 3(x + 7) = 14

2x – 2.5 – 3x – 3.7 = 14

−x – 10 – 21 = 14

−x – 31 = 14

x = −31 – 14

x = − 45

Vậy x = − 45.

b) −7(5 – x) – 2(x – 10) = 15

−7.5 + 7x – 2x + 20 = 15

−35 + 20 + 5x = 15

5x = 15 + 15

5x = 30

x = 6

Vậy x = 6.

234,56 ´ 55,4 + 234,56 ´ 44,6

= 234,56 ´ (55,4 + 44,6)

= 234,56 ´ 100 = 23 456.

a) 0,43 ´ 2 + 0,36 ´ 2 + 0,21 ´ 2

= 2 ´ (0,43 + 0,36 + 0,21)

= 2 ´ 1 = 2.

b) 22,33 ´ 55,4 + 22,33 ´ 44,6.

= 22,33 ´ (55,4 + 44,6)

= 22,33 ´ 100 = 2233.

x² + xy – 5x – 5y

= (x² + xy) – (5x + 5y)

= x(x + y) – 5(x + y)

= (x + y)(x – 5).

Ta có: \(\frac{x}{y} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{5}\)

Đặt \(\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = k\)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\y = 5k\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: xy = 40

\( \Rightarrow \) 2k.5k = 40

\( \Leftrightarrow \) 10k² = 40

\( \Leftrightarrow \) k² = 4

\( \Leftrightarrow \) k = ± 2

+) Với k = 2

\( \Rightarrow \) x = 2.2 = 4; y = 5.2 = 10

+) Với k = −2

\( \Rightarrow \) x = 2.(−2) = −4; y = 5.(−2) = −10

Vậy (x; y) = (4; 10) hoặc (x; y) = (−4; −10)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\3x + 2 \ge 0\\x + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ge \frac{{ - 2}}{3}\\x \ge - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 0\)

\(2\sqrt x + \sqrt {3x + 2} = 2 + \sqrt {x + 4} \)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt x - 1} \right) + \left( {\sqrt {3x + 2} - \sqrt {x + 4} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt {3x + 2} - \sqrt {x + 4} } \right)\left( {\sqrt {3x + 2} + \sqrt {x + 4} } \right)}}{{\left( {\sqrt {3x + 2} + \sqrt {x + 4} } \right)}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{(3x + 2) - (x + 4)}}{{\sqrt {3x + 2} + \sqrt {x + 4} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2(x - 1)}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2(x - 1)}}{{\sqrt {3x + 2} + \sqrt {x + 4} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2(x - 1)\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {3x + 2} + \sqrt {x + 4} }}} \right) = 0\) (*)

Với x ≥ 0 ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {3x + 2} + \sqrt {x + 4} }} > 0\)

Khi đó (*) \( \Leftrightarrow \) x – 1 = 0

\( \Leftrightarrow \) x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

\(A = \left( {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}} \right).\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\)

\( = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}} \right).\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\)

\( = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\)

Vậy \(A = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\).

• (a + b + c)² = [(a + b) + c]²

= (a + b)² + 2(a + b).c + c²

= a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

• (a + b – c)² = [(a + b) – c]²

= (a + b)² – 2(a + b)c + c²

= a² + b² + 2ab – 2ac – 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab – 2ac – 2bc

a(b + c)²(b – c) + b(c + a)²(c – a) + c(a + b)²(a – b)

= a(b + c)²(b – c) – b(c + a)²(b – c – b + a) + c(a + b)²(a – b)

= a(b + c)²(b – c) – b(c + a)²(b – c) – b(c + a)²(a – b) + c(a + b)²(a – b)

= (b – c)[a(b + c)² – b(c + a)²] – (a – b)[b(c + a)² – c(a + b)²]

= (b – c)(ab² + ac² + 2abc – bc² – ba² – 2abc) – (a – b)(bc² + ba² + 2abc – ca² – cb² – 2abc)

= (b – c)(ab² + ac² – bc² – ba²) – (a – b)(bc² + ba² – ca² – cb²)

= (b – c)[ab(b – a) + c²(a – b)] – (a – b)[bc(c – b) + a²(b – c)]

= (b – c)(a – b)(c² – ab) – (a – b)(b – c)(a² – bc)

= (a – b)(b – c)(c² – ab – a² + bc)

= (a – b)(b – c)[(c – a)(c + a) + b(c – a)]

= (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c).

Tổng số phần của mức sản xuất của người thứ 1 và thứ 2 là:

5 + 3 = 8 (phần)

Người thứ 3 bằng 25% tổng của người thứ nhất và người thứ 2 nên chiếm số phần là:

\(8.\frac{{25}}{{100}} = 2\) (phần)

Ta có sơ đồ sau:

Theo sơ đồ, tổng mức sản xuất của ba người là:

5 + 3 + 2 = 10 (phần)

Số tiền của người thứ nhất được thưởng là:

\(\frac{{100\,\,000.5}}{{10}} = 50\,\,000\)(đồng)

Số tiền của người thứ 2 được thưởng là:

\(100\,\,000\,\,.\,\,\frac{3}{{10}} = 30\,\,000\) (đồng)

Số tiền của người thứ 3 được thưởng là:

100 000 – 50 000 – 30 000 = 20 000 (đồng)

Vậy số tiền của người thứ nhất được thưởng là: 50 000 đồng.

Số tiền của người thứ 2 được thưởng là: 30 000 đồng.

Số tiền của người thứ 3 được thưởng là: 20 000 đồng.

Mức sản xuất của mỗi tổ tỉ lệ 5: 4 : 3 cũng có nghĩa là số sản phẫm cũng có tỉ lệ là

5 : 4 : 3

Gọi số sản phẫm mà 3 tổ công nhân làm được lần lượt là 5x, 4x, 3x (x > 0)

Khi đó số sản phẩm mà tổ I làm được khi tăng năng suất 10% là:

5x.110% = 5,5x (sản phẩm)

Số sản phẩm mà tổ II làm được khi tăng năng suất 20% là:

4x.120% = 4,8x (sản phẩm)

Số sản phẩm mà tổ III làm được khi tăng năng suất 10% là:

3x.110% = 3,3x (sản phẩm)

Do khi tăng năng suất thì tổ I làm nhiều hơn tổ II 7 sản phẩm nên ta có phương trình:

5,5x – 4,8x = 7

\( \Leftrightarrow \) 0,7x = 7

\( \Leftrightarrow \) x = 10

Vậy tổ I làm được số sản phẩm là: 5. 10 = 50 (sản phẩm)

 Tổ II làm được số sản phẩm là: 4. 10 = 40 (sản phẩm)

Tổ III làm được số sản phẩm là: 3. 10 = 30 (sản phẩm)

Đáp số: Tổ I làm được 50 sản phẩm.

Tổ II làm được 40 sản phẩm.

Tổ III làm được 30 sản phẩm.

Mức sản xuất của mỗi tổ tỉ lệ 5: 4 : 3 cũng có nghĩa là số sản phẫm cũng có tỉ lệ là

5 : 4 : 3

Gọi số sản phẫm mà 3 tổ công nhân làm được lần lượt là 5x, 4x, 3x (x > 0)

Khi đó số sản phẩm mà tổ I làm được khi tăng năng suất 10% là:

5x.110% = 5,5x (sản phẩm)

Số sản phẩm mà tổ II làm được khi tăng năng suất 20% là:

4x.120% = 4,8x (sản phẩm)

Số sản phẩm mà tổ III làm được khi tăng năng suất 30% là:

3x.110% = 3,9x (sản phẩm)

Do khi tăng năng suất thì tổ I làm nhiều hơn tổ III 16 sản phẩm nên ta có phương trình:

5,5x – 3,9x = 16

\( \Leftrightarrow \) 1,6x = 16

\( \Leftrightarrow \) x = 10

Vậy tổng số sản phẩm mà 3 tổ làm được nếu không tăng năng suất là: 50 + 40 + 30 = 120 (sản phẩm)

Đáp số: 120 sản phẩm.

Khi n = 1, VT = 1

\(VP = \frac{{1\left( {1 + 1} \right)}}{2} = 1\)

\( \Rightarrow \) VT = VP, do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là:

S_k = 1 + 2 + 3 + … + k = \(\frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}\)

Ta phải chứng mình rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

S_k+1 = 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \(\frac{{\left( {k + 1} \right)(k + 2)}}{2}\)

Thật vậy, từ giả thuyết suy ra ta có:

S_k+1 = S_k + (k + 1) = \(\frac{{k\left( {k + 1} \right) + 2\left( {k + 1} \right)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)

Suy ra đẳng thức đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Theo bài cho ta có:

Bao thứ 4 có nhiều hơn bao thứ 2 là:

12,5 – 6,3 = 6,2 (kg)

7 lần bao thứ nhất là:

53,7 – 12, 5 – 6,2 = 35 (kg)

Bao thứ nhất nặng:

35 : 7 = 5 (kg)

Bao thứ ba nặng:

5 ´ 2 + 12,5 = 22,5 (kg)

Đáp số: 22,5 kg gạo

Số cốc trong mỗi hộp là:

24 : 4 = 6 (cốc)

Đáp số: 6 cái cốc

Số học sinh có trong mỗi bàn là:

10 : 5 = 2 (học sinh)

Với 36 học sinh thì cần số bàn học là:

36 : 2 = 18 (bàn)

Đáp số: 18 bàn

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là a và b (a,b ∈ ℕ*, đvđd)

\( \Rightarrow \) Độ dài cạnh huyền là \[\sqrt {{a^2} + {b^2}} \].

Gọi đường cao là h.

Khi đó:

Chu vi của tam giác là: \(a + b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Diện tích của tam giác là: \(\frac{1}{2}.\sqrt {{a^2} + {b^2}} .h\)

Theo bài ra ta có:

\(a + b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} .h\)

\( \Rightarrow h = \frac{{2a + 2b + 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 + 2\frac{{a + b}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Theo bđt bunhiacopxki, ta có:

(1.a + 1.b)² ≤ (1² + 1²)(a² + b²)

\( \Leftrightarrow a + b \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \)

\( \Rightarrow h \le 2 + 2.\frac{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 + 2\sqrt 2 \).

Vậy \({h_{\max }} = 2 + 2\sqrt 2 \) (đvđd).

a) 3 tổ chiếm số phần của số học sinh của lớp là: \(\frac{3}{4}\).

b) 3 tổ có số học sinh là:

\(32.\frac{3}{4} = 24\) (học sinh)

Đáp số: a) \(\frac{3}{4}\);

   b) 24 học sinh.

Nếu có 3 bạn nữ nghỉ ốm, lớp 4A còn lại số học sinh là:

32 – 3 = 29 (học sinh)

Số học sinh nam là: (29 + 5) : 2 = 17 (học sinh)

Số học sinh nữ là: 32 – 17 = 15 (học sinh)

Đáp số: Nam: 17 học sinh ;

   Nữ: 15 học sinh.

M là tổng của số lẻ tự nhiên liên tiếp từ 1 đến (2n – 1).

Khi đó, tổng số các số hạng của M là:

(2n – 1 + 1) : 2 = n (số hạng)

Do đó M = (2n – 1 + 1) . n : 2 = 2n . n : 2 = n²

Suy ra M chính là một số chính phương.

Chiều dài của mảnh vườn đó là:

4 + 4 = 8 ( m )

Chu vi của mảnh vườn đó là:

(8 + 4) ´ 2 = 24 (m)

Đáp số: 24 m

Vì diện tích trồng cà rốt gấp 5 lần diên tích trồng hành nên cạnh còn lại của diện tích trồng cà rốt gấp 5 lần cạnh còn lại của phần trồng hành

Cạnh còn lại của diện tích trồng hành là:

936 : 2 : (5 – 1) × 1 = 117 (m)

Cạnh còn lại của diện tích trồng cà rốt là:

117 × 5 = 585 (m)

Chiều dài của mảnh đất ban đầu là:

117 + 585 = 702 (m)

Chu vi mảnh ruộng ban đầu là

(702 + 327) × 2 = 2058 (m) = 205,8 (dam)

Vậy chu vi mảnh ruộng ban đầu là 205,8 dam.

P = 2a³ + 7a²b + 7ab² + 2b³

= 2(a³ + b³) + 7ab(a + b)

= 2(a + b)(a² – ab + b²) + 7ab(a + b)

= (a + b)(2a² – 2ab² + 2b² + 7ab)

= (a + b)(2a² + 5ab + 2b²)

= (a + b)(2a² + 4ab + ab + 2b²)

= (a + b)[2a(a + 2b) + b(a + 2b)]

= (a + b)(a + 2b)(2a + b).

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

a) Ta có:

Vậy phép chia có thương là 0,48 (dư 0,04)

b) Ta có:

Vậy phép chia có thương là 2,08 (dư 0,16)

Ta có:

5 \( \vdots \) (2n – 1)

\( \Rightarrow \) (2n – 1) ∈ Ư(5) = {1; −1; 5; −5}

+) 2n – 1 = 1

n = 1

+) 2n – 1 = −1

n = 0

+) 2n – 1 = 5

n = 3

+) 2n – 1 = −5

n = −2

Vậy với x ∈ {−2; 0; 1; 3} thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) 1,6x + 0,4x = 7

(1,6 + 0,4)x = 7

2x = 7

x = 7 : 2

x = 3,5

Vậy x = 3,5.

b) 7,2x – 1,2x = 3

(7,2 – 1,2)x = 3

6x = 3

x = 2

Vậy x = 2.

Số có 4 chữ số thỏa yêu cầu có dạng:

• a có 4 cách chọn.

• b có 4 cách chọn.

• c có 4 cách chọn.

• d có 4 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có 4 . 4 . 4 . 4 = 256 (cách chọn).

Vậy ta có thể lập được 256 số.

Số có 4 chữ số thỏa yêu cầu có dạng:

a có 4 cách chọn.

b có 3 cách chọn.

c có 2 cách chọn.

d có 1 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có 4.3.2.1 = 24 cách chọn.

Vậy ta có thể lập được 24 số.

\(30\% x + \frac{1}{4}x + 89 = 100\)

\(\left( {\frac{3}{{10}} + \frac{1}{4}} \right)x + 89 = 100\)

\(\frac{{11}}{{20}}x = 100 - 89\)

\(\frac{{11}}{{20}}x = 11\)

x = 20

Vậy x = 20.

Ta có: 200 = 2.2.2.5.5 = 2³.5².

Vậy Ư(200) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40; 50; 100; 200}.

3 lần tổng hai số là: 10,47 ´ 3 = 31,41

2 lần số hạng thứ nhất là:

44,59 – 31,41 = 13,18

Vậy số hạng thứ nhát là:

13,18 : 2 = 6,59

Sô hạng thứ hai là:

10,47 – 6,59 = 3,88

Đáp số: Số thứ nhất là: 6,59;

   Số thứ hai là: 3,88.

Trong 3 giờ đầu ô tô đi được số km là:

42,8 ´ 3 = 128,4 (km)

Trong 2 giờ sau ô tô đi được số km là:

48,3 ´ 2 = 96,6 (km)

Trung bình 1 giờ ô tô đi được số km là:

(128,4 + 96,6) : (3 + 2) = 45 (km)

Đáp số: 45 km.

Tổng quãng đường ô tô đi được trong 5 giờ là:

42,5 ´ 3 + 43,25 ´ 2 = 214 (km)

Đáp số: 214 km.

123,45 ´ 55,4 + 123,45 ´ 54,6 – 1234,5

= 123,45 ´ 55,4 + 123,45 ´ 54,6 – 123,45 ´ 10

= 123,45 ´ (55,4 + 54,6 – 10)

= 123,45 ´ 100 = 12 345.

512 ´ (2 – 128) – 128 ´ (−512)

= 512 ´ (−126) + 128 ´ 512

= 512 ´ ( 128 – 126)

= 512 ´ 2 = 1024

Ta có: \(\overline {ab} + \overline {ba} \)

= 10.a + b + 10.b + a

= 11(a + b)

= 11 ´ 15 = 165

Vậy \(\overline {ab} + \overline {ba} = 165\).

b) Ta có: \(\overline {ab} - \overline {ba} \)

= 10a + b – (10b + a)

= 9a – 9b

= 9(a – b)

= 9 ´ 4 = 36

Vậy \(\overline {ab} - \overline {ba} = 36\).

Một công nhân sẽ sửa trong đoạn đường đó trong số ngày là:

15 ´ 6 = 90 (ngày)

Nếu muốn sửa xong đoạn đường đó thì cần số công nhân là:

90 : 3 = 30 (người)

Vậy cần thêm số công nhân là:

30 – 15 = 15 (người)

Đáp số: 15 người.

Gọi a là số học sinh của trường trên. (700 ≤ a ≤ 800, a ∈ ℕ).

Theo bài cho ta có:

(a + 10) chia hết cho 30; 40; 48 nên (a + 10) ∈ BC(30, 40, 48)

Ta có: 30 = 2 . 3 . 5; 40 = 2³ . 5; 48 = 2⁴ . 3.

Suy ra BCNN(30, 40, 48) = 2⁴ . 3 . 5 = 240

Do đó a + 10 ∈ B(240) = {240; 480; 720; 960; …}

\( \Rightarrow \) a ∈ {230; 470; 710; 950; …}

Mà 700 ≤ a ≤ 800 nên a = 710.

Đáp số: 710 học sinh

\(A = \frac{a}{{ab + a + 2}} + \frac{b}{{bc + b + 1}} + \frac{{2c}}{{ac + 2c + 2}}\)

\( = \frac{a}{{ab + a + 2}} + \frac{{ab}}{{a\left( {bc + b + 1} \right)}} + \frac{{2abc}}{{ab\left( {ac + 2c + 2} \right)}}\)

\( = \frac{a}{{ab + a + 2}} + \frac{{ab}}{{abc + ab + a}} + \frac{{2abc}}{{{a^2}bc + 2abc + 2ab}}\)

Mà abc = 2 nên \(A = \frac{a}{{ab + a + 2}} + \frac{{ab}}{{2 + ab + a}} + \frac{{2.2}}{{a.2 + 2.2 + 2a}}\)

\( = \frac{{a + ab + 2}}{{ab + a + 2}}\)= 1.

\(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}\)\( = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\,.\,{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}}\,.\,{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}}\)

\( = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\,.\,{b^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{3}}}\,.\,{a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\,.\,{b^{\frac{1}{3}}}\,.\,{b^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{3}}}\,.\,{a^{\frac{1}{3}}}\,.\,\,{a^{\frac{1}{6}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}}\)

\( = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\,.\,{b^{\frac{1}{3}}}\,.\,\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} = {a^{\frac{1}{3}}}\,.\,{b^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{ab}}\).

Một người làm thì làm cỏ mảnh vườn đó xong trong số giờ là:

3 ´ 8 = 24 (giờ)

Vậy 12 giờ làm cỏ mảnh vườn đó xong trong số giờ là:

24 : 12 = 2 (giờ)

Đáp số: 2 giờ.

Vì (d) đi qua A(1; 2) và B(−3; 4) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}k - 3 + k' = 2\\ - 3k + 9 + k' = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2,5\\k' = 2,5\end{array} \right.\)

Vậy y = (2,5 – 3)x + 2,5 = −0,5x + 2,5.

Ta có: y’ = 6x² – 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)

y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)6x² – 6(2m + 1)x + 6m(m + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \)x² – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0

∆ = 4m² + 4m + 1 – 4(m² + m) = 1

Suy ra y’ = 0 có hai nghiệm: \[\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{2m + 1 + 1}}{2} = m + 1\\{x_2} = \frac{{2m + 1 - 1}}{2} = m\end{array} \right.\].

Do đó hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m.

+) Tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là: A(m; 2m³ + 3m² + 1);

B(m + 1; 2m³ + 3m²).

Suy ra \(AB = \sqrt {{{(m - m - 1)}^2} + {{\left( {2{m^3} + 3{m^2} + 1 - 2{m^3} - 3{m^2}} \right)}^2}} = \sqrt 2 \).

Và phương trình đường thẳng AB là:

x + y – 2m³ – 3m² – m – 1 = 0.

Do đó ∆MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất.

\({d_{(M;AB)}} = \frac{{\left| {2{m^3} + m - 2{m^3} - 3{m^2} - m - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3{m^2} + 1}}{{\sqrt 2 }} \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Suy ra \(\min {d_{(M;AB)}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Dấu “=” xảy ra khi m = 0.

Vậy với m = 0 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xét ∆ = 9m² + 12m + 4 – 4m

= 9m² + 8m + 4

Xét f(x) = 9m² + 8m + 4 có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {4^2} - 9.4 = - 20 < 0\\a = 9 > 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) f(x) > 0 \(\forall \)m ∈ ℝ

Suy ra ∆ > 0\(\forall \)m ∈ ℝ nên phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 40 : 2 = 20 (m)

Chiều dài của hình chữ nhật là:

(20 + 4) : 2 = 12 (m)

Chiều rộng của hình chữ nhật là:

20 – 12 = 8 (m)

Vậy diện tích của hình chữ nhật là:

12.8 = 96 (m²)

Đáp số: 96 m².

Ô tô đó đi 1 km thì tiêu thụ hết số lít xăng là:

12,5 : 100 = 0,125 (l)

Ô tô đó đi quãng đường dài 60 km thì tiêu thụ hết số lít xăng là:

0,125 . 60 = 7,5 (l)

Đáp số: 7,5 lít xăng

Gọi số quả cam là x (200 ≤ x ≤ 600, x ∈ ℕ)

Theo bài cho ta có x chia hết cho 6; 10; 12; 14

\( \Rightarrow \) x ∈ BC(6, 10, 12, 14)

Ta có 6 = 2.3; 10 = 2.5; 12 = 2².3; 14 = 2.7

\( \Rightarrow \) BCNN(6, 10, 12, 14) = 2².3.5.7 = 420

\( \Rightarrow \) x ∈ B(420) = {420; 840; …}

Mà 200 ≤ x ≤ 600 nên x = 420.

Vậy trong sọt có 420 quả cam.

Số câu xã A vượt kế hoặc là:

2052 – 1520 = 532 (cây)

Xã A đã vượt mức kế hoạch là:

532 : 1520 = 0,35 = 35%

Đáp số: 35%

Ta có:

Vậy số dư của phép chia là: 0,08.

Số các số từ 1 đến 9 là: 9 – 1 + 1 = 9 (số)

Số các số có hai chữ số là: 99 – 10 + 1 = 90 (số)

Số các số có ba chữ số là 999 – 100 + 1 = 900 (số)

Số các chữ số dùng để viết các số có 1 chữ số và có 2 chữ số trong dãy là:
9 + 90.2 = 189 (chữ số)

Số các chữ số dùng để viết các số có 1 chữ số, có 2 chữ số và có 3 chữ số trong dãy là:

9 + 90.2 + 900.3 = 2889 (chữ số)

Do 189 < 659 < 2889 nên ta viết đến các số có 3 chữ số.

Số các chữ số dùng để viết các số có 3 chữ số trong dãy số là: 659 – 189 = 470 (chữ số)

Số các số có 3 chữ số là: 470 : 3 = 156 (dư 2)

Điều đó có nghĩa là người ta đã viết được 156 số có 3 chữ số ngoài ra còn viết được đến chữ số thứ hai của số tiếp theo.

Số có 3 chữ số mà người ta viết được là: 156 + 100 – 1 = 255

Số liền sau 255 là 256, chữ số thứ hai của số là là 5.

Vậy chữ số thứ 659 là chữ số 5.

100 – {200 : [31 + 2.(4 – 7)] – 88}

= 100 – {200 : [31 + 2 .(-3)] – 88}

= 100 – {200 : [31 + (-6)] – 88}

= 100 – (200 : 25 – 88)

= 100 – (8 – 88)

= 100 – (–80)

= 180

• \(M = \frac{{{{100}^{100}} + 1}}{{{{100}^{99}} + 1}}\)\( = \frac{{{{100}^{100}} + 100 - 99}}{{{{100}^{99}} + 1}}\)

\( = \frac{{100({{100}^{99}} + 1) - 99}}{{{{100}^{99}} + 1}} = 100 - \frac{{99}}{{{{100}^{99}} + 1}}\).

 • \(N = \frac{{{{100}^{101}} + 1}}{{{{100}^{100}} + 1}}\)\( = \frac{{{{100}^{101}} + 100 - 99}}{{{{100}^{100}} + 1}}\)

\( = \frac{{100({{100}^{100}} + 1) - 99}}{{{{100}^{100}} + 1}} = 100 - \frac{{99}}{{{{100}^{100}} + 1}}\)

Ta có: \(\frac{{99}}{{{{100}^{99}} + 1}} > \frac{{99}}{{{{100}^{100}} + 1}}\).

Do đó M < N.