Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 3. Tìm GTLN của
\(B = \sqrt {\frac{{xy}}{{xy + 3z}}} + \sqrt {\frac{{yz}}{{yz + 3x}}} + \sqrt {\frac{{zx}}{{zx + 3y}}} \).
Giải bởi Vietjack
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và kết hợp với giả thiết x + y + z = 3, ta có:
\[B = \sqrt {\frac{{xy}}{{xy + 3z}}} + \sqrt {\frac{{yz}}{{yz + 3x}}} + \sqrt {\frac{{zx}}{{zx + 3y}}} \]
\( = \sqrt {\frac{{xy}}{{xy + \left( {x + y + z} \right)z}}} + \sqrt {\frac{{yz}}{{yz + \left( {x + y + z} \right)x}}} + \sqrt {\frac{{zx}}{{zx + \left( {x + y + z} \right)y}}} \)
\( = \sqrt {\frac{{xy}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{yz}}{{\left( {y + x} \right)\left( {z + x} \right)}}} + \sqrt {\frac{{zx}}{{\left( {z + y} \right)\left( {x + y} \right)}}} \)
\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + z}} + \frac{y}{{y + x}} + \frac{z}{{z + x}} + \frac{z}{{z + y}} + \frac{x}{{x + y}}} \right)\)
\[ = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{x + z}}{{x + z}} + \frac{{y + z}}{{y + z}} + \frac{{x + y}}{{x + y}}} \right) = \frac{3}{2}\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Vậy GTLN của B bằng \(\frac{3}{2}\) khi x = y = z = 1.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1,2,3.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt sao cho 1,2,3 luôn đứng cạnh nhau.
Thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 60 m, chiều rộng bằng \(\frac{2}{3}\) chiều dài. Trung bình cứ 100 mét vuông thì thu hoạch được 50 kg thóc. Hỏi trên cả thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam thóc?
Tìm m để bất phương trình 2x2 − (2m + 1)x + m2 − 2m + 2 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ {\frac{1}{2};\;2} \right]\]
Tìm m để mọi x Î [0; +∞) đều là nghiệm của bất phương trình:
(m2 − 1)x2 − 8mx + 9 − m2 ≥ 0
Tìm m để bất phương trình f(x) > 0 đúng với mọi x thuộc (0; 1)
Tìm m để đồ thị hàm số bậc nhất y = mx − 4 cắt đường thẳng y = −3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5.
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều dài bằng \(\frac{3}{2}\) chiều rộng, trên thửa ruộng đó người ta trồng lúa cứ 100m2 thu hoạch được 50 kg. Hỏi trên cả thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?
Cho (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ hình bình hành OBO'C.
Chứngminh: AC//OO'
Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a.Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC.
a) Chứng minh \(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).
b) Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác CDB.
c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách.
Từ điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A và B (IA < IB).Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. OM cắt AB tại K.
a) Chứng minh K là trung điểm của AB.
b) Vẽ MH ^ OI tại H. Chứng minh OB2 = OH.OI.
c) Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh IA.IB = IK.IN.
Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là tam giác vuông cân SAB có cạnh cạnh huyền bằng \[a\sqrt 2 \]. Diện tích toàn phần Stp của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng đã cho là bao nhiêu?
Cho 2 số dương x, y thay đổi thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của biểu thức:\(M = \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{{2x + y}}\).
Cho phương trình: x2 − (m − 2)x− m − 1 = 0 (với m là tham số)
a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
b) Tìm m thỏa mãn hệ thức: (x1 − x2)2 − 3x1x2 = 21
Cho số phức z thỏa mãn |z + i + 1| = |z − 2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất |z|.
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: x − 2y + 1 = 0 và d2: −3x + 6y – 10 = 0.
