Cho tam giác ABC, $AB = a,\;AC = a\sqrt 3 ,\;\widehat {BAC} = 60^\circ$ và $\widehat A = 60^\circ .$ Tính diện tích tam giác ABC theo a.

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.

b) Chứng minh: ME // BN.

c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right|$, I là trung điểm BC.

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B và C.

a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.

c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt tia DE tại . Chứng minh $KI = \frac{1}{6}AE.$

Rút gọn biểu thức: cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + ... + cos² 180°.

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC

a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.

b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(0; 1); B(1; 3); C(2; 7) và D(0; 3). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.

Cho 4 điểm A(1; 2) và B(−1; 4); C(2; 2); D(−3; 2). Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD.

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính  $\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD}$.

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1.

Giải phương trình:

a) sin 5x + sin 8x + sin 3x = 0;

b) $4{\cos ^3}x + 3\sqrt 2 \sin 2x = 8\cos x$.

Tính A = cos² 10° + cos² 20° + ... + cos² 70° + cos² 80°.

Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ điểm E đối xứng với B qua điểm C; vẽ F đối xứng với điểm D qua C.

a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.

b) Chứng minh AC = DE.

c) Gọi H là trung điểm của CD, K là trung điểm của EF. Chứng minh HK // AC.

Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0$