Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AM tại I cắt AC tại E.
a) Chứng minh BI.BE = 2BH.BM.
b) Chứng minh \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{B{E^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}\).
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Ta có M là trung điểm BC. Suy ra BC = 2BM.
Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao: AB2 = BH.BC = 2BH.BM (1)
Tam giác ABE vuông tại A có AI là đường cao: AB2 = BI.BE (2)
Từ (1), (2), ta được BI.BE = 2BH.BM.
b) Từ (1), ta có \(BC = \frac{{A{B^2}}}{{BH}}\).
Suy ra \(\frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{{B{H^2}}}{{A{B^4}}}\).
Từ (2), ta có \(BE = \frac{{A{B^2}}}{{BI}}\).
Suy ra \(\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{A{B^4}}}\).
Xét ∆BMI và ∆AMH, có:
\(\widehat {AMB}\) chung;
\(\widehat {BIM} = \widehat {AHM} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{BI}}{{AH}} = \frac{{BM}}{{AM}}\).
Mà AM = BM (tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến).
Do đó BI = AH.
Ta có \(\frac{1}{{B{E^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{A{B^4}}} + \frac{{B{H^2}}}{{A{B^4}}} = \frac{{B{I^2} + B{H^2}}}{{A{B^4}}} = \frac{{A{H^2} + B{H^2}}}{{A{B^4}}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{B^4}}} = \frac{1}{{A{B^2}}}\).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC. Lấy A thuộc (O) sao cho AB < AC, vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
a) Chứng minh: AH.BC = AB.AC.
b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh rằng: MA2 = MB.MC.
c) Kẻ HE vuông góc với AB (E thuộc AB) và HF vuông góc với AC (F thuộc AC). Chứng minh AM // EF.
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, \[\widehat {BAC} = 60^\circ \]. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {BD} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
c) Chứng minh AM ⊥ BD.
Trong lớp 10C có 16 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Lí, 11 học sinh giỏi Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lí, 6 học sinh vừa giỏi Lí và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó có 11 học sinh giỏi đúng 2 môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp:
a) Giỏi cả ba môn.
b) Giỏi đúng 1 môn.
Cho A = (2m – 1; m + 3) và B = (–4; 5). Tìm m sao cho:
a) A là tập hợp con của B.
b) B là tập con của A.
c) A ∩ B = ∅.
d) A ∪ B là một khoảng.
