Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10; 6; −2), B(5; 10; −9) và mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 12 = 0. Điểm M thay đổi thuộc mặt phẳng (α) sao cho hai đường thẳng MA và MB luôn tạo với (α) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định. Hoành độ của tâm đường tròn đó bằng

Đáp án đúng là: C   

Mặt phẳng (α) có phương trình: 2x + 2y + z – 12 = 0.

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B lên (α).

• Với A(10; 6; −2) ta có:

AH = d_(A;(α)) = $\frac{\left|2.10+2.6-2-12\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1}}$ = 6

• Với B(5; 10; −9)  ta có:

BK = d_(B;(α)) = $\frac{\left|2.5+2.10-9-12\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1}}$ = 3

Vì điểm M di động trên mặt phẳng (α) sao cho MA, MB luôn tạo với (α) các góc bằng nhau nên ta có sin$\widehat{AMH}$ = sin $\widehat{BMK}$

$\Rightarrow \frac{AH}{AM}=\frac{BK}{BM}\Rightarrow \frac{BM}{AM}=\frac{BK}{AH}=\frac{1}{2}$

Þ MA = 2MB

Gọi M(x; y; z).

MA = 2MB Û MA² = 4MB²

Û (x – 10)² + (y – 6)² + (z + 2)² = 4[(x – 5)² + (y – 10)² + (z + 9)²]

Û x² – 20x + 100 + y² – 12y + 36 + z² + 4z + 4

= 4x² – 40x + 100 + 4y² – 80y + 400 + 4z² + 72z + 324

Û 3x² + 3y² + 3z² – 20x – 68y + 68z + 684 = 0

Û x² + y² + z² − $\frac{20}{3}$x − $\frac{68}{3}$y + $\frac{68}{3}$z + 228 = 0

Suy ra điểm M thỏa mãn $\left\{\begin{array}{c}2x+2y+z-12=0\left(\alpha \right)\\ x^2+y^2+z^2-\frac{20}{3}x-\frac{68}{3}y+\frac{68}{3}z+228=0\left(S\right)\end{array}\right.$ 

Mặt cầu (S) có tâm I$\left(\frac{10}{3};\frac{34}{3};-\frac{34}{3}\right)$.

Gọi (ω) là đường tròn cố định luôn đi qua M.

Do đó M ∈ (ω) là giao tuyến của (α) và (S).

Þ Tâm N của (ω) là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 12 = 0 có vectơ pháp tuyến là (2; 2; 1).

Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) là:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{10}{3}+2t\\ y=\frac{34}{3}+2t\\ z=-\frac{34}{3}+t\end{array}\right.$

 

 

Vì N là hình chiếu của I lên (α) nên N ∈ d.

Þ $N\left(\frac{10}{3}+2t;\frac{34}{3}+2t;-\frac{34}{3}+t\right)$

Mà N ∈ (α) nên ta có:

$2.\left(\frac{10}{3}+2t\right)+2\left(\frac{34}{3}+2t\right)+\left(-\frac{34}{3}+t\right)-12=0$

Þ 20 + 12t + 68 + 12t – 34 + 3t – 36 = 0

Þ 27t = –18

Þ t = $\frac{-2}{3}$

Suy ra điểm N(2; 10; −12)

Vậy hoành độ của tâm đường tròn (ω) bằng 2.