Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5x² - 3x + 1 ;      b) -2x² + 3x + 5

c) x² + 12x + 36 ;      d) (2x - 3)(x + 5)

a) Tam thức f(x) = 5x² – 3x + 1 có Δ = 9 – 20 = –11 < 0

nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

Mà a = 5 > 0

Do đó f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) Tam thức f(x) = –2x² + 3x + 5 có Δ = 9 + 40 = 49 > 0.

Tam thức có hai nghiệm phân biệt x₁ = –1; x₂ = 5/2, hệ số a = –2 < 0

Ta có bảng xét dấu:

 

 

 

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 5/2)

f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 5/2

f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (5/2; +∞)

c) Tam thức f(x) = x² + 12x + 36 có một nghiệm là

x = –6, hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

 

 

Vậy f(x) > 0 với ∀ x ≠ –6

f(x) = 0 khi x = –6

d) f(x) = (2x – 3)(x + 5) = 2x² + 7x – 15

Tam thức f(x) = 2x² + 7x – 15 có hai nghiệm phân biệt

x₁ = 3/2; x₂ = –5, hệ số a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

 

 

 

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞)

f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2

f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 3/2)

Kiến thức áp dụng

Tam thức f(x) = ax² + bx + c có Δ = b² – 4ac:

+ Nếu Δ < 0, f(x) cùng dấu với a với ∀ x ∈ R

+ Nếu Δ = 0, f(x) cùng dấu với a với ∀ x ≠ –b/2a.

+ Nếu Δ > 0, f(x) cùng dấu với a nếu x < x1 hoặc x > x²;

f(x) trái dấu với a nếu x₁ < x < x₂; trong đó x₁; x₂ là hai nghiệm của f(x) và x₁ < x₂.