Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:

$$\begin{gathered} a. f\left(x\right) = (3x^2-10x+3)(4x-5) \\ b. f\left(x\right) = (3x^2-4x)(2x^2-x-1) \\ c. f\left(x\right) = (4x^2-1)(-8x^2+x-3)(2x+9) \\ d. f\left(x\right) = \frac{(3x^2-x)(3-x^2)}{4x^2+x-3} \end{gathered}$$

a) f(x) = (3x² – 10x + 3)(4x – 5)

+ Tam thức 3x² – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và

x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc

x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3.

+ Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4.

Ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

f(x) > 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

f(x) = 0 khi x ∈ {1/3; 5/4; 3}

f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; 1/3) ∪ (5/4; 3)

b) f(x) = (3x² – 4x)(2x² – x – 1)

+ Tam thức 3x² – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số

a = 3 > 0.

Do đó 3x² – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang

dấu – khi 0 < x < 4/3.

+ Tam thức 2x² – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số

a = 2 > 0

Do đó 2x² – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang

dấu – khi –1/2 < x < 1.

Ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)

f(x) = 0 ⇔ x ∈ {–1/2; 0; 1; 4/3}

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–1/2; 0) ∪ (1; 4/3)

c) f(x) = (4x² – 1)(–8x² + x – 3)(2x + 9)

+ Tam thức 4x² – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số

a = 4 > 0

Do đó 4x² – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang

dấu – nếu –1/2 < x < 1/2

+ Tam thức –8x² + x – 3 có Δ = –95 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên

luôn mang dấu –.

+ Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.

Ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2)

f(x) = 0 khi x ∈ {–9/2; –1/2; 1/2}

f(x) < 0 khi x ∈ (–9/2; –1/2) ∪ (1/2; +∞)

+ Tam thức 3x² – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x² – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu –

khi 0 < x < 1/3.

+ Tam thức 3 – x² có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0

Do đó 3 – x² mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu +

khi –√3 < x < √3.

+ Tam thức 4x² + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.

Do đó 4x² + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu –

khi –1 < x < 3/4.

Ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)

f(x) = 0 ⇔ x ∈ {±√3; 0; 1/3}

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –√3) ∪ (–1; 0) ∪ (1/3; 3/4) ∪ (√3; +∞)

f(x) không xác định khi x = -1 và x = 3/4.

Kiến thức áp dụng

Tam thức f(x) = ax² + bx + c có Δ = b² – 4ac:

+ Nếu Δ < 0, f(x) cùng dấu với a với ∀ x ∈ R

+ Nếu Δ = 0, f(x) cùng dấu với a với ∀ x ≠ –b/2a.

+ Nếu Δ > 0, f(x) cùng dấu với a nếu x < x₁ hoặc x > x₂;

f(x) trái dấu với a nếu x₁ < x < x₂; trong đó x₁; x₂ là hai nghiệm của f(x) và x₁ < x₂.