Giải các bất phương trình sau

a) 4x² - x + 1 < 0

b) -3x² + x + 4 ≥ 0

c) $\frac{1}{x^2-4}<\frac{3}{3x^2+x-4}$

d) x² - x - 6 ≤ 0

a) 4x² - x + 1 < 0

Cách 1:

Xét tam thức f(x) = 4x² - x + 1 có Δ = -15 < 0; a = 4 > 0

nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Cách 2:

với ∀x ∈ R.

Vậy bất phương trình 4x² – x + 1 < 0 vô nghiệm.

b) -3x² + x + 4 ≥ 0

Xét tam thức f(x) = -3x² + x + 4 có hai nghiệm x = -1 và

x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.

Do đó f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-1; 4/3]

c) Điều kiện xác định

+ Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8

+ Tam thức x² – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2,

hệ số a = 1 > 0

Do đó x² – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang

dấu – khi -2 < x < 2.

+ Tam thức 3x² + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3,

hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x² + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1

mang dấu – khi -4/3 < x < 1.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = (-∞; -8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2)

d) x² - x - 6 ≤ 0

Xét tam thức f(x) = x² - x - 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

Do đó f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-2; 3]

Kiến thức áp dụng

Tam thức f(x) = ax² + bx + c có Δ = b² – 4ac:

+ Nếu Δ < 0, f(x) cùng dấu với a với ∀ x ∈ R

+ Nếu Δ = 0, f(x) cùng dấu với a với ∀ x ≠ –b/2a.

+ Nếu Δ > 0, f(x) cùng dấu với a nếu x < x1 hoặc x > x²;

f(x) trái dấu với a nếu x₁ < x < x₂; trong đó x₁; x₂ là hai nghiệm của f(x) và x₁ < x₂.