Giả sử f(x) đạt cực đại tại x_o. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số $\frac{f(x_0+∆x)-f\left(x_0\right)}{∆x}$ khi Δx → 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.

Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x³ + 3x² - 36x - 10

$$\begin{gathered} b) y=x^4+2x^2-3; \\ c) y = x+ \frac{1}{x}; \\ d) y = x^3{(1-x)}^2; \\ e) y = \sqrt{x^2-x+1} \end{gathered}$$

Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x⁴ - 2x² + 1 ;

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;

d) y = x⁵ - x³ - 2x + 1

Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Chứng minh hàm số y = $\sqrt{\left|x\right|}$ không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số $y=\frac{x^2+mx+1}{x+m}$ đạt giá trị cực đại tại x = 2.

Tìm a và b để các cực trị của hàm số

$y=\frac{5}{3}{a}^2{x}^3 + 2a{x}^2-9x+b$

đều là nhưng số dương và x_o = -5/9 là điểm cực đại.

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y = x³ - mx² - 2x + 1

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x² + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) y = x/3(x+ 3)² trong các khoảng (1/2; 3/2) và (3/2; 4).

a) Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.

• y = -2x + 1;

• y = x/3(x-3)² (H.8).

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm s f(x) = x(x^2 – 3).