Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y = x³ - mx² - 2x + 1

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x³ + 3x² - 36x - 10

$$\begin{gathered} b) y=x^4+2x^2-3; \\ c) y = x+ \frac{1}{x}; \\ d) y = x^3{(1-x)}^2; \\ e) y = \sqrt{x^2-x+1} \end{gathered}$$

Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x⁴ - 2x² + 1 ;

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;

d) y = x⁵ - x³ - 2x + 1

Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Chứng minh hàm số y = $\sqrt{\left|x\right|}$ không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số $y=\frac{x^2+mx+1}{x+m}$ đạt giá trị cực đại tại x = 2.

Tìm a và b để các cực trị của hàm số

$y=\frac{5}{3}{a}^2{x}^3 + 2a{x}^2-9x+b$

đều là nhưng số dương và x_o = -5/9 là điểm cực đại.

Giả sử f(x) đạt cực đại tại x_o. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số $\frac{f(x_0+∆x)-f\left(x_0\right)}{∆x}$ khi Δx → 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.

Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x² + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) y = x/3(x+ 3)² trong các khoảng (1/2; 3/2) và (3/2; 4).

a) Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.

• y = -2x + 1;

• y = x/3(x-3)² (H.8).

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm s f(x) = x(x^2 – 3).