Tìm số \(\overline {ab} \) biết \(\overline {ab} \) + a + b = 95.

Chứng minh với a, b, c ≥ 1 ta có: \[\frac{1}{{{a^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + 1}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\].

Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và D).

a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.

b) Chứng minh MA² = MC.MD.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kể từ H đến AB, AC. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC. Chứng minh rằng DI // EK.

Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \), AB = AC, điểm D thuộc cạnh AB. Đường thẳng qua B và vuông góc với CD cắt đường thẳng CA ở K.

Chứng minh rằng: AK = AD.

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA và SD. Chứng minh ba đường thẳng SO, BN, CM đồng quy.

Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao cho OA = 2R. Vẽ tiếp tuyến AB; AC với (O) (B, C là tiếp điểm).

a) Chứng minh tam giác ABC đều.

b) Đường vuông góc với OB tại O cắt AC tại D. Đường vuông góc với OC tại O cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác ADOE là hình thoi.

Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc 4 quả. Xác suất để lấy ra có ít nhất 1 quả cầu màu trắng là bao nhiêu?

Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc 4 quả. Xác suất để lấy ra được 4 quả cùng màu là bao nhiêu?

Cho a, b > 0 và a + b = 4. Tìm GTLN của \(P = \left( {1 - \frac{1}{a}} \right)\left( {1 - \frac{1}{b}} \right)\).

Có bao nhiêu số nguyên dương không lớn hơn 2020 mà chia hết cho 2 hoặc cho 3?

Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 1000 mà chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 5?

Chứng minh rằng n⁴ + 2n³ – n² – 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.

Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, AH là đường cao. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc AC tại F .

a) Chứng minh: AE.AB = AF.AC.

b) Cho BH = 3cm, AH = 4cm. Tính AE, BE.

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F.

Chứng minh rằng: , AH² = AE.AB.

Tính giá trị của biểu thức: P = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰²⁰.

Thu gọn biểu thức sau:

A = 1 – 3 + 3² – 3³ + … + 3²⁰²¹ – 3²⁰²²

Tìm giá trị của x để đa thức dư trong mỗi phép chia sau có giá trị bằng 0:

a) (3x⁵ – x⁴ – 2x³ + x² + 4x + 5) : (x² – 2x + 2);

b) (x⁵ + 2x⁴ + 3x² + x – 3) : (x² + 1).

Giải phương trình: 2^{2x + 1} = 32.

Giải phương trình: 2^{x + 1} − 2^x = 32.

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số: Có 8 chữ số trong đó chữ số 1có mặt 3 lần, chữ số 4 xuất hiện 2 lần; các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.

Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần?

Thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 60 m, chiều rộng bằng \(\frac{2}{3}\) chiều dài. Trung bình cứ 100 mét vuông thì thu hoạch được 50 kg thóc. Hỏi trên cả thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam thóc?

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều dài bằng \(\frac{3}{2}\) chiều rộng, trên thửa ruộng đó người ta trồng lúa cứ 100m² thu hoạch được 50 kg. Hỏi trên cả thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

\(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

\(\frac{{ab}}{{a + b - c}} + \frac{{bc}}{{b + c - a}} + \frac{{ca}}{{c + a - b}} \ge a + b + c\)

Cho nửa hình tròn H như hình vẽ, đường kính hình tròn là 12cm.

Chu vi hình H là:

Cho đường tròn (O), đường kính BC = 2R, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:

a, 5 điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên 1 đường tròn.

b, 3 điểm M, N, H thẳng hàng.

c, HA . HF = R² – OH².

Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, M là 1 điểm thuộc (O), (M khác A và B). Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C, CD là đường kính của (I). Chứng minh rằng:

a) 3 điểm O, M, D thẳng hàng.

b) Tam giác COD là tam giác cân.

c) Gọi N là giao điểm của OC và (I). Chứng minh khi M thay đổi thì đường thẳng qua N vuông góc với AB luôn đi qua điểm cố định.