Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, M là 1 điểm thuộc (O), (M khác A và B). Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C, CD là đường kính của (I). Chứng minh rằng:

a) 3 điểm O, M, D thẳng hàng.

b) Tam giác COD là tam giác cân.

c) Gọi N là giao điểm của OC và (I). Chứng minh khi M thay đổi thì đường thẳng qua N vuông góc với AB luôn đi qua điểm cố định.

Lời giải

a) Do (I) tiếp xúc với AC tại C nên I ∈ đường thẳng vuông góc với AC tại C

Gọi D’ là giao của đường thẳng vuông góc với AC tại C với OM

Ta có: ∆CMD’ vuông tại M (CM nằm trên đường thẳng tiếp xúc với (O)) (1)

Lại có: (I) qua M và tiếp xúc với AC tại C tức là (I) qua M và C ⇒ IM = IC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ I là trung điểm của CD’ (theo định lí về trung điểm và cạnh huyền của tam giác vuông)

⇒ CD’ là đường kính của (I) do ∆CMD’ vuông tại M (3)

Theo giả thiết: CD là đường kính của (I) (4)

Từ (3) và (4) ⇒ D ≡ D’ hay 3 điểm O, M, D thẳng hàng (vì D’ ∈ OM)

b) Do CA và CM là 2 tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C \( \Rightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_2}\) (theo định lí tiếp tuyến thì OC là phân giác của \(\widehat {AOM}\) (5)

Mặt khác: CD ⊥ AC và OA ⊥ AC ⇒ CD // OA \( \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat O_1}\) (so le trong) (6)

Từ (5) và (6) \( \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat O_2}\) ⇒ ∆CDO cân tại D

c) Do N ∈ (I) ⇒ \(\widehat {CND} = 90^\circ \) (CN ⊥ ND)

Mặt khác: N ∈ OC ⇒ N là chân đường vuông góc từ D xuống OC

Mà ∆CDO cân tại D nên DN đồng thời là đường trung tuyến ⇒ NC = NO

Gọi (d) là đường thẳng qua N và vuông góc với AB

Gọi H là giao điểm của (d) và AB ⇒ NH ⊥ AB

Xét ∆ACO và ∆HNO có \[\widehat {CAO} = \widehat {NHO} = 90^\circ \], \[{\widehat O_1}\] là góc chung

⇒ ∆ACO đồng dạng với ∆HNO (góc – góc)

⇒ \(\frac{{ON}}{{OC}} = \frac{{OH}}{{OA}} = \frac{1}{2}\) (do NO = NC)

⇒ H là trung điểm của OA (là điểm cố định do OA cố định)

Vậy khi M thay đổi thì đường thẳng qua N vuông góc với AB luôn đi qua điểm cố định H.