Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 1 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD và M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm cạnh CD. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Gọi O là tâm hình thoi. O là trung điểm của AC và BD ( tính chất hình thoi).

⇒  và 

Ta có:

Vậy 

Bài 2 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có:

Lời giải:

a) Theo quy tắc ba điểm cộng vectơ ta có:

Như vậy:  

b) Ta có:

Bài 3 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}$ và $\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{}$.

Lời giải:

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{AC}}$

Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên AC = a.

Do đó $\left|\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}\right|$ = $\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|$ = a.

Gọi M là trung điểm cạnh AC.

Ta có:

Vì MB là đường trung tuyến của tam giác đều ABC cạnh bằng a nên MB = $\frac{\text{a}\sqrt{\text{3}}}{2}$.

Do đó 

Vậy  và .

Bài 4 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh rằng:

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.

Do đó

b) Vì ABCD là hình bình hành nên: $\overrightarrow{\text{BC}}$= $\overrightarrow{\text{AD}}$

Ta có:

c) Ta có: 

 và 

Mà ta lại có ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{\text{BA}}$ = $\overrightarrow{\text{CD}}$.

Vậy nên $\overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}=\overrightarrow{\text{OD}}-\overrightarrow{\text{OC}}$.

d) Theo chứng minh trên ta có:

Bài 5 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba lực $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{1}}}=\overrightarrow{\text{MA}}$, $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{2}}}=\overrightarrow{\text{MB}}$ và $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{3}}}=\overrightarrow{\text{MC}}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết độ lớn của  $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{1}}}$, $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{2}}}$ đều là 100N và $\widehat{\text{AMB}}$ = 60°. Tính độ lớn của lực $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{3}}}$.

Lời giải:

M đứng yên nên:

⇒ $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{3}}}$ có hướng ngược với $\overrightarrow{\text{MD}}$ và có độ lớn bằng $\overrightarrow{\text{MD}}$.

Dựng hình bình hành MADB.

Gọi I là giao điểm của AB và MD. Khi đó I là trung điểm của AB và MD.

Mặt khác $\widehat{\text{AMB}}$ = 60° nên tam giác AMB đều.

Khi đó MI ⊥ AB ⇒ Tam giác AIM vuông tại I.

⇒ MI = AM.sin$\widehat{\text{MAI}}$= 100.sin60° = 50$\sqrt{3}$ ⇒ MD = 2MI = 100$\sqrt{3}$.

Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{3}}}$ bằng 100$\sqrt{3}$.

Bài 6 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Khi máy bay nghiêng cánh một góc α, lực $\overrightarrow{\text{F}}$ của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{1}}}$và lực cản $\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{2}}}$( Hình 8). Cho biết α = 45° và $\overrightarrow{\left|\text{F}\right|}$= a. Tính $\left|\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{1}}}\right|$và $\left|\overrightarrow{{\text{F}}_{\text{2}}}\right|$theo a.

Lời giải:

Đặt tên các điểm trong hình vẽ, ta có:

Khi đó $\left|\overrightarrow{F}\right|=OB,\left|\overrightarrow{F_1}\right|=OA,\left|\overrightarrow{F_2}\right|=OC$

Vì lực $\overrightarrow{F}$ vuông góc với phương xy của cánh nên $\widehat{FOx}=90°$.

Ta có: $\widehat{\text{COx}}=\alpha =45°$

⇒ $\widehat{BOC}=\widehat{\text{BOx}}-\widehat{COx}=90°-45°=45°$

Xét tam giác BOC vuông tại C, có:

$cos\widehat{BOC}=\frac{OC}{OB}$ ⇔ 

$cos\widehat{BOC}=\frac{OC}{OB}$ ⇔ 

Vậy $\left|\overrightarrow{{\text{F}}_2}\right|=\left|\overrightarrow{{\text{F}}_1}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Bài 7 trang 94 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a. Cho hai điểm M, N thỏa mãn:

 $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{0}$ ; $\overrightarrow{\text{NB}}+\overrightarrow{\text{ND}}+\overrightarrow{\text{NC}}=\overrightarrow{0}$.

Tìm độ dài các vectơ  $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{NO}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{0}$ suy ra M là trung điểm AD. Khi đó $\left|\overrightarrow{\text{MA}}\right|$= MA = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{a}{2}$.

Và $\overrightarrow{\text{NB}}+\overrightarrow{\text{ND}}+\overrightarrow{\text{NC}}=\overrightarrow{0}$ suy ra N là trọng tâm tam giác BCD. Khi đó $\left|\overrightarrow{NO}\right|$ = NO = $\frac{1}{3}$CO = $\frac{1}{6}$CA.

Xét hình vuông ABCD, có: CA = $=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{{\text{a}}^2+{\text{a}}^2}$ = $a\sqrt{2}$

Suy ra $\left|\overrightarrow{\text{NO}}\right|=\frac{1}{6}CA=\frac{1}{6}.a\sqrt{2}=\frac{\text{a}\sqrt{2}}{6}$.