Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Các bài toán sau đây được xét trong mặt phẳng Oxy.

Bài 1 trang 65 SBT Toán 10 tập 2: Tìm các giá trị của tham số a, b, c để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được các đường thẳng trong hình đưới đây.

Lời giải:

a) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm $A\left(-\frac{3}{2};0\right)$  ; B(0; 3)

Ta có hệ  $\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}a\text{'}+b\text{'}=0\\ 0.a\text{'}+b\text{'}=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\text{'}=2\\ b\text{'}=3\end{array}\right.$

Suy ra đường thẳng có dạng y = 2x + 3 $\iff$  2x – y + 3 = 0

Vì vậy a = 2; b = – 1; c = 3.

b) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A(1; 0) ; B(0; 1)

Ta có hệ  $\left\{\begin{array}{l}a\text{'}+b\text{'}=0\\ 0.a\text{'}+b\text{'}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\text{'}=-1\\ b\text{'}=1\end{array}\right.$

Suy ra đường thẳng có dạng y = – x + 1 $\iff$  x + y – 1 = 0

Vì vậy a = 1; b = 1; c = – 1.

c) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A(0; 3) và song song với trục hoành nên đường thẳng có dạng y c 3 = 0

Vì vậy a = 0; b = 1; c = – 3.

d) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A(– 2; 0) và song song với trục Oy nên đường thẳng có dạng x + 2 = 0.

Vì vậy a = 1; b = 0; c = 2.

Bài 2 trang 65 SBT Toán 10 tập 2: Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(2; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$  = (4; 7);

b) d đi qua điểm N(0; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (-5; 3);

c) d đi qua A(-2; -3) và có hệ số góc k = 3,

d) d đi qua hai điểm P(1; 1) và Q(3; 4).

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$  = (4; 7) nên ta có phương trình tham số của đường thẳng d là:  $\left\{\begin{array}{l}x=2+4t\\ y=2+7t\end{array}\right.$

Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$  = (4; 7) nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}$  (7; –4) phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 7(x – 2) – 4(y – 2) = 0  $\iff$7x – 4y – 6 = 0

b) Đường thẳng d đi qua điểm N(0; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (– 5; 3) nên ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là: – 5(x – 0) + 3(y – 1) = 0 ⇔ – 5x + 3y – 3 = 0.

Đường thẳng d đi qua điểm N(0; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (–5 ; 3) nên ta có vectơ chỉ của đường thẳng d là $\overrightarrow{u}$ (3; 5) phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=1+5t\end{array}\right.$ .

c) Đường thẳng d đi qua A(–2; –3) và có hệ số góc k = 3 nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là: y = 3(x + 2) – 3 ⇔ 3x – y + 3 = 0.

Khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}\left(3;-1\right)$ suy ra vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(1;3)$ . Vì vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=-3+3t\end{array}\right.$ .

d) Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1; 1) và Q(3; 4) nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{PQ}$  = (2; 3) và có vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{n}$  (3; – 2).

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1+3t\end{array}\right.$ .

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 3(x – 1) – 2(y – 1) = 0 $\iff$  3x – 2y – 1 = 0.

Bài 3 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(0; 1) và C(4; 3).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b) Lập phương trình tham số của đường trung tuyến AM.

c) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH.

Lời giải:

a) Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=(2;1)$  và có vectơ pháp tuyến là vectơ  $\overrightarrow{n}=(1;-2)$ nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 1(x – 0) – 2(y – 1) = 0 ⇔ x – 2y + 2 = 0.

b) Ta có M là trung điểm của BC nên toạ độ của M là: M(2; 2).

Đường thẳng AM có vectơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AM}$ = (1; – 2) nên phương trình tham số của đường thẳng AM là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=4-2t\end{array}\right.$  

c) Đường cao AH đi qua điểm A(1; 4) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ = (2; 1) nên phương trình tổng quát của đường cao AH là: 2(x – 1) + 1(y – 4) = 0 ⇔ 2x + y – 6 = 0.

Bài 4 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:

a)  đi qua M(3; 3) và song song với đường thẳng x + 2y – 2022 = 0;

b)  đi qua N(2; – 1) và vuông góc với đường thẳng 3x + 2y + 99 = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng  đi qua M(3; 3) và song song với đường thẳng x + 2y – 2022 = 0 nên đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{n}$ (1; 2) phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 1(x – 3) + 2(y – 3) = 0 $\iff$  x + 2y – 9 = 0

b) Đường thẳng  đi qua N(2; –1) và vuông góc với đường thẳng 3x + 2y + 99 = 0 nên đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{n}$ (2; – 3) phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 2(x – 2) – 3(y + 1) = 0 ⇔ 2x – 3y – 7 = 0.

Bài 5 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

a) $d_1:2x+y+9=0$  và $d_2:2x+3y-9=0$ ;

b) $d_1:\left\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$ và $d_2:2x+y+10=0$ ;

c) $d_1:\left\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=8-5t\end{array}\right.$ và $d_2:5x-y+3=0$

Lời giải:

a) d₁ và d₂ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$  (2; 1) và $\overrightarrow{n_2}$  (2; 3)

Ta có: a₁.b₂ – a₂.b₁ = 2.3 – 1.2 = 4 ≠ 0, suy ra véc tơ $\overrightarrow{n_1}$  và $\overrightarrow{n_2}$  là hai vectơ không cùng phương. Do đó d₁ và d₂ cắt nhau tại một điểm M.

Giải hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{l}2x+y+9=0\\ 2x+3y-9=0\end{array}\right.$ ta được M(- 9; 9).

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau tại một điểm M.

b) Ta có d₁:  $\left\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$suy ra phương trình tổng quát của d₁ là: 2x + y – 5 = 0

d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ (2; 1) và $\overrightarrow{n_2}$ (2; 1).

Ta có: a₁.b₂ – a₂.b₁ = 2.1 – 1.2 = 0, suy ra vectơ $\overrightarrow{n_1}$  và $\overrightarrow{n_2}$  là hai vectơ cùng phương. Do đó d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau. Ta lấy M(– 4; – 2) thuộc d₂ , thay toạ độ M vào d₁ ta được 2.(– 4) + (– 2) – 5 = – 15 ≠ 0 suy ra M không thuộc d₁. Vậy d₁ song song với d₂.

c) Ta có d₁: $\left\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=8-5t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}t=\frac{x-1}{-1}\\ t=\frac{y-8}{-5}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{x-1}{-1}=\frac{y-8}{-5}\iff 5x-y+3=0$ suy ra phương trình tổng quát của d₁ là: 5x – y + 3 = 0.

Khi đó d₁ và d₂ đều có phương trình tổng quát là 5x – y + 3 = 0

Vậy d₁ trùng với d₂.

Bài 6 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2+2t\end{array}\right.$. Tìm giao điểm của d với đường thẳng $\Delta :x+y-2=0$ .

Lời giải:

Ta có d: $\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2+2t\end{array}\right.$

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2x – y = 0

Tạo độ giao điểm của d với đường thẳng ∆ là nghiệm của hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ 2x-y=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ y=\frac{4}{3}\end{array}\right.$

Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng ∆ là: $M\left(\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$ .

Bài 7 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a) $d_1:5x-3y+1=0$ và $d_2:10x-6y-7=0$ ;

b)  $d_1:7x-3y+7=0$ và $d_2:3x+7y-10=0$ ;

c)  $d_1:2x-4y+9=0$ và $d_2:6x-2y-2023=0$ .

Lời giải:

a) d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$  (5; – 3) và $\overrightarrow{n_2}$ (10; – 6).

Ta có $cos\left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|5.10+(-3).(-6)\right|}{\sqrt{5^2+{(-3)}^2}.\sqrt{{10}^2+{(-6)}^2}}=1$ .

Suy ra (d₁, d₂) = 0^o

b) d₁ và d₂ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$  (7; – 3) và $\overrightarrow{n_2}$ (3; 7)

Ta có a_1.a₂ +b₁.b₂ = 7.3 + (– 3).7 = 0, suy ra (d₁, d₂) = 90^o.

c) d₁ và d₂ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$  (2; – 4) và $\overrightarrow{n_2}$ (6; – 2)

Ta có  $cos\left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|2.6+(-4).(-2)\right|}{\sqrt{2^2+{(-4)}^2}.\sqrt{6^2+{(-2)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra (d₁, d₂) = 45^o.

Bài 8 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  trong các trường hợp sau:

a) M(2; 3) và $\Delta :8x-6y+7=0$

b) M(0;1) và $\Delta :4x+9y-20=0$

c) M(1; 1) và $\Delta :3y-5=0$

d) M(4; 9) và $\Delta :x-25=0$

Lời giải:

a) Ta có $d_{(M,\Delta )}=\frac{\left|8.2-6.3+7\right|}{\sqrt{8^2+{(-6)}^2}}=\frac{1}{2}$ .

Vậy khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng ∆ là: $\frac{1}{2}$ .

b) Ta có $d_{(M,\Delta )}=\frac{\left|4.0+9.1-20\right|}{\sqrt{4^2+9^2}}=\frac{11\sqrt{97}}{97}$ .

Vậy khoảng cách từ điểm M(0;1) đến đường thẳng ∆ là: $\frac{11\sqrt{97}}{97}$ .

c) Ta có $d_{(M,\Delta )}=\frac{\left|3.1-5\right|}{\sqrt{3^2}}=\frac{2}{3}$ .

Vậy khoảng cách từ điểm M(1; 1) đến đường thẳng ∆ là: $\frac{2}{3}$ .

d) Ta có $d_{(M,\Delta )}=\frac{\left|4-25\right|}{\sqrt{1^2}}=21$ .

Vậy khoảng cách từ điểm M(4; 9) đến đường thẳng ∆ là: 21.

Bài 9 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm c để đường thẳng $\Delta :4x-3y+c=0$  tiếp xúc với đường tròn (C) có tâm J(1; 2) và bán kính R = 3.

Lời giải:

Vì đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C) nên ta có  $d_{(J,\Delta )}=R$

 $\iff \frac{\left|4.1-3.2+c\right|}{\sqrt{4^2+{(-3)}^2}}=3$

 $\iff \left[\begin{array}{l}-2+c=15\left(1\right)\\ -2+c=-15\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình (1) ta có – 2 + c = 15 $\iff$  c = 17

Xét phương trình (2) ta có – 2 + c = – 15 $\iff$  c = – 13

Vậy c = 17 hoặc c = – 13 thoả mãn bài toán.

Bài 10 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2:  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

$\Delta :6x+8y-11=0$ và $\Delta \text{'}:6x+8y-1=0$

Lời giải:

Ta có ∆ và ∆’ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$  (6; 8) và $\overrightarrow{n_2}$ (6; 8) hai vectơ này cùng phương. Do đó ∆ và ∆’ song song hoặc trùng nhau.

Dễ dàng nhận thấy ∆ và ∆’ song song với nhau, thật vậy:

Ta lấy  $M\left(0;\frac{11}{8}\right)$ thuộc ∆, thay tọa độ điểm $M\left(0;\frac{11}{8}\right)$  vào phương trình ∆’ ta được:

6.0 + 8. $\frac{11}{8}$ – 1 = 10 ≠ 0 nên M ∉ ∆’.

Khi đó, ta có: $d_{(\Delta ,\Delta \text{'})}=d_{(M,\Delta \text{'})}=\frac{\left|6.0+8.\frac{11}{8}-1\right|}{\sqrt{6^2+8^2}}=1$ .

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng 1.

Bài 11 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Một trạm viễn thông S có toạ độ (5; 1). Một người đang ngồi trên chiếc xe khách chạy trên đoạn cao tốc có dạng một đường thẳng  có phương trình 12x + 5y – 20 = 0. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông S. Biết rằng mỗi đơn vị độ dài tương ứng với 1 km.

Lời giải:

Giả sử người ngồi trên xe khách là điểm M đang di chuyển trên đường cao tốc có dạng là đường thẳng ∆ như hình vẽ. Ta thấy khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông S khi người đó di chuyển đến điểm C và SC $\perp$  ∆. Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông S bằng đoạn SC = d_{(S, ∆)}.

Ta có  $d_{(S,\Delta )}=\frac{\left|12.5+5.1-20\right|}{\sqrt{{12}^2+5^2}}=\frac{45}{13}$

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông S bằng $\frac{45}{13}$  km.