Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 7

A. TRẮC NGHIỆM

Câu 1 trang 19 SBT Toán 10 Tập 2: Tam thức bậc hai nào có biệt thức ∆ = 1 và hai nghiệm là:  và 

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được các tam thức bậc hai f ( x ) = $8x^2-26x+21$ và g ( x ) = $4x^2-13x+\frac{21}{2}$ đều có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{3}{2}$và $x_2=\frac{7}{4}$.

Xét f ( x ): ∆ = (–26)² – 4.8.21 = 4

Xét g ( x ): ∆ = (–13)² – 4.4.$\frac{21}{2}$ = 1

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 2 trang 19 SBT Toán 10 Tập 2: Tam thức bậc hai nào dương với mọi $x\in ℝ$?

Lời giải:

Đáp án đúng là D

+) Ta có f ( x ) = $2x^2-4x+2$ = 2(x – 1)² > 0 với mọi x ≠ 1. Do đó A sai.

+) Tam thức bậc hai f (x) = $2x^2-4x+2$ có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{-3+\sqrt{3}}{3}$ và

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{3}}{3}$, a = 3 > 0 nên f ( x ) > 0 khi x < $\frac{-3-\sqrt{3}}{3}$ hoặc x > $\frac{-3+\sqrt{3}}{3}$. Do đó B sai.

+) Tam thức bậc hai f ( x ) = $-x^2+2x+3$ có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3 và x₂ = –1,

a = –1 < 0 nên f ( x ) > 0 khi – 1 < x < 3. Do đó C sai.

+) Tam thức bậc hai f ( x ) = $-x^2+2x+3$ có ∆ = ( –3)² – 4.5.1 = –11 < 0, a = 5 > 0 nên f ( x ) > 0 với mọi $x\in ℝ$. Do đó D đúng.

Vậy đáp án D đúng.

Câu 3 trang 19 SBT Toán 10 Tập 2: Khẳng định nào sau đây đúng với tam thức bậc hai $f\left(x\right)=10x^2-3x-4?$

A. f(x) > 0 với mọi x không thuộc khoảng (-1; 1),

B. f(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (-1; 1),

C. $f\left(x\right)\ge 0$ với mọi x thuộc khoảng $\left(-\frac{1}{2};\frac{4}{5}\right)$

D. Các khẳng định trên đều sai.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=10x^2-3x-4$ có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{4}{5}$ và x₂ = $\frac{-1}{2}$, và a = 10 > 0 nên:

f ( x ) > 0 với x < $\frac{-1}{2}$ hoặc x > $\frac{4}{5}$. Do đó khẳng định A sai

f ( x ) < 0 với $\frac{-1}{2}$ < x < $\frac{4}{5}$. Do đó khẳng định B sai.

f ( x ) ≥ 0 với x ≤ $\frac{-1}{2}$ hoặc x ≥ $\frac{4}{5}$. Do đó khẳng định C sai.

Vậy khẳng định D đúng.

Câu 4 trang 19 SBT Toán 10 Tập 2:Trong trường hợp nào tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c có $\Delta >0$ và a < 0?

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Tam thức bậc hai $f\left(x\right){\text{=ax}}^2+bx+c$ có $\Delta >0$ và a < 0 khi f ( x ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đường cong hướng xuống dưới. Do đó B đúng.

Câu 5 trang 20 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đồ thị của hàm số bậc hai y = f(x) như Hình 1.

Tập nghiệm của bất phương trình $f\left(x\right)\ge 0$ là:

A. $\left(1;2\right)$;

B. $\left[1;2\right]$;

C. $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(2;+\infty \right)$;

D. $\left(-\infty ;1\right]\cup \left[2;+\infty \right)$.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Tập nghiệm của bất phương trình $f\left(x\right)\ge 0$ là $\left(-\infty ;1\right]\cup \left[2;+\infty \right)$.

Câu 6 trang 20 SBT Toán 10 Tập 2: Bất phương trình nào có tập nghiệm là (2; 5)?

Lời giải:

Đáp án đúng là B

+) Tam thức bậc hai f ( x ) = x² – 7x +10 có ∆ = ( – 7)² – 4.1.10 = 9 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 2 và x₂ = 5, và a = 1 > 0 nên ta có:

f ( x ) > 0 với x < 2 hoặc x > 5.

f ( x ) < 0 với 2 < x < 5.

Do đó A sai, B đúng.

+) Tam thức bậc hai f ( x ) = $x^2+13x-30$ có ∆ = 13² – 4.1.(– 30) = 289 > 0 nên f(x) hai nghiệm phân biệt x₁ = 2 và x₂ = –15, và a = 1 > 0 nên ta có:

f ( x ) > 0 với x < –15 hoặc x > 2.

f ( x ) < 0 với –15 < x < 2.

Do đó C, D sai.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 7 trang 20 SBT Toán 10 Tập 2: Tập xác định của hàm số$y=\frac{1}{\sqrt{9x^2-3x-2}}+\sqrt{3-x}$ là:

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Hàm số trên xác định khi và chỉ khi 3 – x ≥ 0 và 9x² – 3x – 2 > 0

+) Ta có 3 – x ≥ 0 khi và chỉ khi x ≤ 3 (1)

+) Xét tam thức bậc hai f ( x ) = 9x² – 3x – 2 có ∆ = (– 3)² – 4.9.(– 2) = 81 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{2}{3}$ và x₂ = $\frac{-1}{3}$, và a = 9 > 0 nên f ( x ) > 0 với $\left(-\infty ;\frac{-1}{3}\right)\cup \left(\frac{2}{3};+\infty \right)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tập xác định của hàm số trên là $\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{2}{3};3\right]$.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 8 trang 20 SBT Toán 10 Tập 2: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình$\left(2m+6\right)x^2+4mx+3=0$ có hai nghiệm phân biệt?

A. $m<-\frac{3}{2}$ hoặc m > 3;

B. $-\frac{3}{2}<m<3;$

C. m < - 3  hoặc $-3<m<-\frac{3}{2}$ hoặc m > 3;

D. $-3<m<-\frac{3}{2}$ hoặc m > 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

+) 2m + 6 = 0 ⇔ m = –3, khi đó phương trình trở thành –12x + 3 = 0 ⇒ x = $\frac{1}{4}$. Suy ra phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất. Do đó không thỏa mãn.

+) 2m + 6 ≠ 0 ⇔ m ≠ –3

Khi đó phương trình $\left(2m+6\right)x^2+4mx+3=0$có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

∆ = (4m)² – 4.3.(2m + 6) > 0 hay 2m² – 3m – 9 > 0

Tam thức bậc hai f ( x ) = 2m² – 3m – 9 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3 và x₂ = $\frac{-3}{2}$,

a = 2 > 0 nên f ( x ) > 0 với x < $\frac{-3}{2}$ hoặc x > 3 (2)

Từ điều kiện (1) và (2) suy ra m < - 3  hoặc $-3<m<-\frac{3}{2}$ hoặc m > 3.

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 9 trang 20 SBT Toán 10 Tập 2: Giá trị nào là nghiệm của phương trình  $\sqrt{x^2+x+11}=\sqrt{-2x^2-13x+16}?$

A. x = – 5

B. $x=\frac{1}{3}$

C. Cả hai câu A, B đều đúng;

D. Cả hai câu A, B đều sai.

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

x² + x + 11 = –2x² – 13x + 16

⇒ 3x² + 14x – 5 = 0

⇒ x = $\frac{1}{3}$ hoặc x = –5.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = $\frac{1}{3}$ hoặc x = –5 đều thỏa mãn.

Vì vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = $\frac{1}{3}$ và x = –5

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 10 trang 20 SBT Toán 10 Tập 2: Khẳng định nào đúng với phương trình  $\sqrt{2x^2-3x-1}=\sqrt{3x^2-2x-13}?$

A. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu;

B. Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu;

C. Phương trình có một nghiệm;

D. Phương trinh vô nghiệm.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

2x² – 3x – 1 = 3x² – 2x – 13

⇒ x² + x – 12 = 0

⇒ x = 3 hoặc x = –4.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 hoặc x = –4 đều thỏa mãn.

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 và x = –4. Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho là hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Đáp án đúng là B.

Câu 11 trang 20 SBT Toán 10 Tập 2: Khẳng định nào đúng với phương trình  $\sqrt{5x^2+27x+36}=2x+5?$

A. Phương trình có một nghiệm;

B. Phương trình vô nghiệm;

C. Tổng các nghiệm của phương trình là -7;

D. Các nghiệm của phương trình đều không bé hơn $\frac{-5}{2}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

5x² + 27x + 36 = 4x² + 20x + 25

⇒ x² + 7x + 11 = 0

⇒ x = $\frac{-7+\sqrt{5}}{2}$ hoặc x = $\frac{-7-\sqrt{5}}{2}$.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = $\frac{-7+\sqrt{5}}{2}$ thỏa mãn.

Vì vậy đáp án A đúng.

Câu 12 trang 20 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đồ thị của hai hàm số bậc hai f(x) = ax² + bx + c và g(x) = dx² + ex + h như Hình 2.

Khẳng định nào đúng với phương trình $\sqrt{{\text{ax}}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+\text{ex}+h}?$

A. Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = 1 và x = 6,

B. Phương trình có 1 nghiệm là x = l;

C. Phương trình có 1 nghiệm là x = 6;

D. Phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Xét phương trình $\sqrt{{\text{ax}}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+\text{ex}+h}$

Bình phương hai vế ta được f ( x ) = g ( x )

Đồ thị hàm số f ( x ) và g ( x ) giao nhau tại hai điểm x = 1 và x = 6. Tuy nhiên tại

x = 6 thì g ( x ) < 0 và f ( x ) < 0 nên không thỏa mãn.

Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = 1.

B. TỰ LUẬN

Bài 1 trang 21 SBT Toán 10 Tập 2: Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai $y=f\left(x\right)$sau đây, hãy xét dấu của tam thức bậc hai f(x).

a) 

b) 

c) 

d) 

Lời giải:

a) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành khi x < $\frac{1}{2}$ hoặc x > 3 hay f(x) > 0 khi x ∈ $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ ∪ (3; +∞).

Đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành khi $\frac{1}{2}<x<3$ hay f(x) < 0 khi x ∈ $\left(\frac{1}{2};3\right)$

Vậy f ( x ) dương trong hai khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và (3; +∞), f(x) âm khi x ∈ $\left(\frac{1}{2};3\right)$.

b) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành khi  –3 < x < 5 hay f(x) > 0 khi x ∈ (–3; 5)

Đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành khi x < –3 hoặc x > 5 hay f(x) < 0 khi x ∈ $\left(-\infty ;-3\right)$ ∪ (5; +∞)

Vậy f ( x ) dương trong khoảng ( –3; 5 ), âm trong hai khoảng $\left(-\infty ;-3\right)$ và $\left(5;+\infty \right)$.

c) Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành khi x ≠ 3.

Vậy f ( x ) dương với mọi x ≠ 3.

d) Đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành với mọi x ∈ ℝ.

Vậy f ( x ) âm với mọi x ∈ ℝ.

Bài 2 trang 21 SBT Toán 10 Tập 2: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-7x^2+44x-45$ có ∆ = 44² – 4.(– 7).(– 45) = 676 > 0 suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 5 và x₂ = $\frac{9}{7}$, a = –7 < 0 nên f ( x ) dương trong khoảng $\left(\frac{9}{7};5\right)$, âm trong hai khoảng $\left(-\infty ;\frac{9}{7}\right)$ và $\left(5;+\infty \right)$.

b) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=4x^2+36x+81$ có ∆ = 36² – 4.4.81 = 0 suy ra f(x) có một nghiệm duy nhất x = $\frac{-9}{2}$ , a = 4 > 0 nên f ( x ) dương với mọi x ≠ $\frac{-9}{2}$.

c) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=9x^2-6x+3$ có ∆ = ( –6 )² – 4.9.3 = –72 < 0 và a = 9 > 0 nên f ( x ) dương với mọi x ∈ ℝ.

d) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-9x^2+30x-25$ có ∆ = 30² – 4.( –9).( –25) = 0 suy ra f(x) có một nghiệm duy nhất x = $\frac{5}{3}$ , a = –9 < 0 nên f ( x ) âm với mọi x ≠ $\frac{5}{3}$.

e) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2-4x+3$ có ∆ = (–4)² – 4.1.3 = 4 suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3 và x₂ =1, a = 1 > 0 nên

f ( x ) âm trong khoảng $\left(1;3\right)$, f(x) dương trong hai khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(3;+\infty \right)$.

g) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-4x^2+8x-7$ có ∆ = 8² – 4.( –4).( –7) = –48 < 0 ,

a = –4 < 0 nên f ( x ) âm với mọi x ∈ ℝ.

Bài 3 trang 21 SBT Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

Lời giải:

a) $x^2-10x+24\ge 0;$

Tam thức bậc hai f ( x ) = x² – 10x + 24 có ∆ = (– 10)² – 4.1.24 = 4 > 0 suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 6 và x₂ = 4 và a = 1 > 0 nên f ( x ) > 0 với x ≤ 4 hoặc x ≥ 6.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = (– ∞; 4] ∪ [6; +∞)

b) $-4x^2+28x-49\le 0;$

Tam thức bậc hai f ( x ) = –4x² + 28x – 49 có ∆ = 28² – 4.(– 4).(– 49) = 0 suy ra f(x) có một nghiệm x = $\frac{7}{2}$ , a = –4 < 0 nên f ( x ) ≤  0 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = ℝ.

c) $x^2-5x+1>0;$

Tam thức bậc hai f ( x ) = x² – 5x + 1 có ∆ = (–5)² – 4.1.1 = 21 suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{5+\sqrt{21}}{2}$ và x₂ = $\frac{5-\sqrt{21}}{2}$, a = 1 > 0 nên f ( x ) > 0 với x < $\frac{5-\sqrt{21}}{2}$ hoặc x > $\frac{5+\sqrt{21}}{2}$.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = $\left(-\infty ;\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)\cup \left(\frac{5+\sqrt{21}}{2};+\infty \right)$

d) $9x^2-24x+16\le 0;$

Tam thức bậc hai f ( x ) = 9x² – 24x +16 có ∆ = (–24)² – 4.9.16 = 0 suy ra f(x) có một nghiệm x = $\frac{4}{3}$ , a = 9 > 0 nên f ( x ) ≤  0 khi x = $\frac{4}{3}$.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = $\left\{\frac{4}{3}\right\}$

e) $15x^2-x-2<0;$

Tam thức bậc hai f ( x ) = 15x² – x – 2 có ∆ = (–1)² – 4.15.( –2) = 121 suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{2}{5}$ và x₂ = $\frac{-1}{3}$, a = 15 > 0 nên f ( x ) < 0 với $\frac{-1}{3}$ < x < $\frac{2}{5}$.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = $\left(\frac{-1}{3};\frac{2}{5}\right)$

g) $-x^2+8x-17>0;$

Tam thức bậc hai f ( x ) = –x² + 8x – 17 có ∆ = 8² – 4.( –1).( –17) = –4 < 0 , a = –1 < 0 nên f ( x ) âm với mọi x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

h) $-25x^2+10x-1<0;$

Tam thức bậc hai f ( x ) = –25x² + 10x – 1 có ∆ = 10² – 4.( –25).( –1) = 0  suy ra f(x) có một nghiệm x = $\frac{1}{5}$ , a = –25 < 0 nên f ( x ) < 0 khi x ≠ $\frac{1}{5}$.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = ℝ \ $\frac{1}{5}$.

i) $4x^2+4x+7\le 0.$

Tam thức bậc hai f ( x ) = 4x² + 4x + 7 có ∆ = 4² – 4.4.7 = –96 < 0 , a = 4 > 0 nên f ( x ) dương với mọi x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Bài 4 trang 22 SBT Toán 10 Tập 2: Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai được cho, hãy giải các bất phương trình sau:

a) $f\left(x\right)\ge 0$

b) $f\left(x\right)>0$

c) $f\left(x\right)\le 0$

d) $f\left(x\right)<0$

e) $f\left(x\right)<0$

g) $f\left(x\right)\le 0$

Lời giải:

a) Ta thấy đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hoành tại hai điểm x = $\frac{3}{2}$ và x = 4, khi $\frac{3}{2}$ ≤ x ≤ 4 thì đồ thị hàm số nằm trên trục hoành nên $f\left(x\right)\ge 0$ khi $\frac{3}{2}$ ≤ x ≤ 4.

Vậy f(x) ≥ 0 khi x ∈ $\left[\frac{3}{2};4\right]$.

b) $f\left(x\right)>0$ khi đồ thị hàm số f ( x ) nằm trên trục hoành hay x < –1 hoặc x > 3.

Vậy f(x) > 0 khi (– ∞; – 1) ∪ (3; +∞).

c) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại x = 1.

Với x ≠ 1 đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

Do đó f(x) ≤ 0 khi x = 1.

Vậy f(x) ≤ 0 khi x = 1.

d) $f\left(x\right)<0$ vô nghiệm vì ta thấy đồ thị hàm số f ( x ) hoàn toàn nằm trên trục hoành.

Vậy không tồn tại giá trị của x để f(x) < 0.

e) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại x = 3.

Đồ thị nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành với x ≠ 3.

Do đó $f\left(x\right)<0$ khi x ≠ 3.

Vậy f(x) < 0 khi x ≠ 3.

g) Ta có thể thấy đồ thị hàm số f ( x ) hoàn toàn nằm dưới trục hoành nên $f\left(x\right)\le 0$ với mọi x ∈ ℝ.

Vậy f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Bài 5 trang 22 SBT Toán 10 Tập 2: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

a) $\sqrt{3x^2+7x-1}=\sqrt{6x^2+6x-11}$

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

3x² + 7x – 1 = 6x² + 6x – 11

⇒ 3x² – x – 10 = 0

⇒ x = $\frac{-5}{3}$ hoặc x = 2.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.

b) $\sqrt{x^2+12x+28}=\sqrt{2x^2+14x+24}$

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

x² + 12x + 28 = 2x² + 14x + 24

⇒ x² + 2x – 4 = 0

⇒ x = –1 + $\sqrt{5}$ hoặc x = –1 – $\sqrt{5}$.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = –1 + $\sqrt{5}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = –1 + $\sqrt{5}$.

c) $\sqrt{2x^2-12x-14}=\sqrt{5x^2-26x-6}$

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

2x² – 12x – 14 = 5x² – 26x – 6

⇒ 3x² – 14x + 8 = 0

⇒ x = 4 hoặc x = $\frac{2}{3}$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 4 và x = $\frac{2}{3}$ đều không thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) $\sqrt{11x^2-43x+25}=-3x+4$

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

11x² – 43x + 25 = 9x² – 24x + 16

⇒ 2x² – 19x + 9 = 0

⇒ x = 9 hoặc x = $\frac{1}{2}$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = $\frac{1}{2}$ thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = $\frac{1}{2}$.

e) $\sqrt{-5x^2-x+35}=x+5$

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

–5x² – x + 35 = x² + 10x + 25

⇒ 6x² + 11x – 10 = 0

⇒ x = $\frac{2}{3}$ hoặc x = $\frac{-5}{2}$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = $\frac{2}{3}$ hoặc x = $\frac{-5}{2}$ đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = $\frac{2}{3}$ và x = $\frac{-5}{2}$.

g) $\sqrt{11x^2-64x+97}=3x-11.$

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

11x² – 64x + 97 = 9x² – 66x + 121

⇒ 2x² + 2x – 24 = 0

⇒ x = 3 hoặc x = –4

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 và x = –4

đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6 trang 22 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{-x^2+6x-2};$

b) $y=\frac{2x}{x-2}+\sqrt{-x^2+3x-2}$

Lời giải:

a) $y=\sqrt{-x^2+6x-2};$

Hàm số trên xác định khi và chỉ khi –x² + 6x – 2 ≥ 0

Tam thức bậc hai f ( x ) = –x² + 6x – 2 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3 +$\sqrt{7}$ và

x₂ = 3 – $\sqrt{7}$, a = –1 < 0 nên f ( x ) ≥ 0 khi 3 – $\sqrt{7}$ ≤ x ≤ 3 +$\sqrt{7}$.

Vậy tập xác định của hàm số trên là D = $\left[3-\sqrt{7};3+\sqrt{7}\right]$.

b) $y=\frac{2x}{x-2}+\sqrt{-x^2+3x-2}$

Hàm số trên xác định khi và chỉ khi x – 2 ≠ 0 và –x² + 3x –2 ≥ 0.

+) Ta có x – 2 ≠ 0 khi và chỉ khi x ≠ 2 (1)

+)Tam thức bậc hai f ( x ) = –x² + 3x –2 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1 và x₂ = 2,

a = –1 < 0 nên f ( x ) ≥ 0 khi 1 ≤ x ≤ 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra tập xác định của hàm số là $\left[1;2\right)$.

Vậy tập xác định của hàm số là D = $\left[1;2\right)$.

Bài 7 trang 22 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) $f\left(x\right)=\left(m-3\right)x^2+2mx-m$ là một tam thức bậc hai âm với mọi $x\in ℝ$;

b) $f\left(x\right)=\left(m-2\right)x^2+2\left(m+3\right)x+5\left(m-3\right)$ là một tam thức bậc hai có nghiệm;

c) Phương trình $2x^2+\left(3m-1\right)x+2\left(m+1\right)=0$ vô nghiệm,

d) Bất phương trình $2x^2+2\left(m-3\right)x+3\left(m^2-3\right)\ge 0$ có tập nghiệm là $ℝ$.

Lời giải:

a) f ( x ) là một tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi a = m – 3 < 0 và

∆’ < 0.

+) Ta có: m – 3 < 0 khi và chỉ khi m < 3.

+) ∆’ = m² + (m – 3).m = 2m² – 3m < 0 khi và chỉ khi 0 < m < $\frac{3}{2}$

Vậy để $f\left(x\right)=\left(m-3\right)x^2+2mx-m$ là một tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ thì

0 < m < $\frac{3}{2}$.

b) f ( x ) là một tam thức bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi m – 2 ≠ 0 và ∆’ ≥ 0.

+) Ta có m – 2 ≠ 0 khi và chỉ khi m ≠ 2

+) Ta có ∆’ = (m + 3)² – 5.(m – 3).(m – 2) = –4m² + 31m – 21 ≥  0 tức là

$\frac{3}{4}$ ≤ m ≤ 7.

Vậy $\frac{3}{4}$ ≤ m < 2 và 2 < m ≤ 7 thì f(x) là một tam thức bậc hai có nghiệm.

c) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

∆ = ( 3m – 1 )² – 16( m + 1 ) < 0 hay 9m² – 22m – 15 < 0 tức là $\frac{-5}{9}$< m < 3.

Vậy  $\frac{-5}{9}$< m < 3 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² + 2.(m – 3)x + 3(m² – 3) có a = 2 > 0 và ∆’ = ( m – 3 )² – 6( m² – 3 )  = m² – 6m + 9 – 6m² + 18 = – 5m² – 6m + 27

Suy ra f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ khi a = 2 > 0 và ∆’ = –5m² – 6m + 27 ≤ 0 tức là m ≤ –3 hoặc m ≥ $\frac{9}{5}$.

Vậy m ≤ –3 hoặc m ≥ $\frac{9}{5}$.

Bài 8 trang 22 SBT Toán 10 Tập 2: Người ta thử nghiệm ném một quả bóng trên Mặt Trăng. Nếu quả bóng được ném lên từ độ cao ${\mathrm{h}}_0$ (m) so với bề mặt của Mặt Trăng với vận tốc ${\mathrm{v}}_0$ (m/s) thì độ cao của bóng sau t giây được cho bởi hàm số

 $h\left(t\right)=-\frac{1}{2}g{t}^2+v_{0}t+h_0$ với g = 1,625 m/s² là gia tốc trọng trường của Mặt Trăng.

a) Biết độ cao ban đầu của quả bóng vào các thời điểm 8 giây và 12 giây lần lượt là 30 m và 5 m, hãy tìm vận tốc ném; độ cao ban đầu của quả bóng và viết công thức h(t).

b) Quả bóng đạt độ cao trên 29 m trong bao nhiêu giây?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Ta có h ( t ) = –0,8125t² + v₀t + h₀

Ta có h(8) = 30 và h(12) = 5

Do đó $\left\{\begin{array}{l}-52+8{\text{v}}_{\text{0}}+{\text{h}}_{\text{0}}=30\\ -117+12{\text{v}}_{\text{0}}+{\text{h}}_{\text{0}}=5\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}{\text{v}}_{\text{0}}=10\\ {\text{h}}_{\text{0}}=2\end{array}\right.$

Vậy h ( t ) = –0,8125t² + 10t + 2.

b) Quả bóng đạt độ cao trên 29 m khi và chỉ khi –0,8125t² + 10t + 2 > 29 hay

–0,8125t² + 10t – 27 > 0

Xét tam thức bậc hai f(t) = –0,8125t² + 10t – 27, có a = –0,8125 < 0 và ∆ = 10² – 4.(–0,8125).(– 27) = 12,25 > 0 suy ra f(t) có hai nghiệm phân biệt t₁ = 8,31 và 4.

Do đó f(t) > 0 khi 4 < t < 8,31.

Vậy quả bóng ở độ cao trên 29m trong khoảng ít hơn 8,31 – 4 = 4,31 giây.

Bài 9 trang 23 SBT Toán 10 Tập 2: Một người phát cầu qua lưới từ độ cao y₀ mét, nghiêng một góc $\alpha$ so với phương ngang với vận tốc đầu v₀.

Phương trình chuyển động của quả cầu là: $y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+\tan \left(\alpha \right)x+y_0$

 với g = 10 m/s²

Viết phương trình chuyển động của quả cầu nếu $\alpha ={45}^0,y_0=0,3m$ và v₀ = 7,67 m/s.

b) Để cầu qua được lưới bóng cao 1,5 m thì người phát cầu phải đứng cách lưới bao xa?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Ta có

$y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+\tan \left(\alpha \right)x+y_0$

Thay $\alpha ={45}^0,y_0=0,3$ và v₀ = 7,67 vào phương trình trên ta được:

y = $\frac{-10}{2.7,{67}^2.{\cos }^{2}45°}$ + tan45°.x + 0,3 hay y = –0,17x² + x + 0,3.

b) Với x là khoảng cách từ người phát cầu đến lưới thì cầu phát được qua lưới khi và chỉ khi y ( x ) > 1,5 hay –0,17x² + x + 0,3 > 1,5 hay –0,17x² + x – 1,2 > 0.

Xét tam thức bậc hai f(x) = – 0,17x² + x – 1,2 có ∆ = 1² – 4.(– 0,17).(– 1,2) = 0,184 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ ≈ 4,20 và x₂ ≈ 1,68.

Ta có a = – 0,17 < 0 suy ra f(x) > 0 khi 1,68 < x < 4,20.

Vậy người phát cầu cần đứng cách lưới trong khoảng từ 1,68 m đến 4,20 m.

Bài 10 trang 23 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC và ABD cùng vuông tại A như Hình 3 có AB = x, BC = 5 và BD = 6.

a) Biểu diễn độ dài cạnh AC và AD theo x.

b) Tìm x để chu vi của tam giác ABC là 12.

c) Tìm x để AD = 2AC

Lời giải:

a) Vì x là khoảng cách AB nên x > 0

Áp dụng định lí Phytagoras cho tam giác ABC:

AB² + AC² = BC²

⇒ AC² = 5² – x²

Như vậy AC = $\sqrt{25-{\text{x}}^{\text{2}}}$

Áp dụng định lí Phytagoras cho tam giác ABD:

AB² + AD² = BD²

⇒ AD² = 6² – x²

Như vậy AD = $\sqrt{36-{\text{x}}^{\text{2}}}$

b) Giải phương trình AB + AC + BC = 12

⇒ x + 5 + $\sqrt{25-{\text{x}}^{\text{2}}}$ = 12

⇒ $\sqrt{25-{\text{x}}^{\text{2}}}$ = 7 – x

⇒ 25 – x² = (7 – x)²

⇒ 2x² – 14x + 24 = 0

⇒ x = 4 hoặc x = 3

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình AB + AC + BC = 12 ta thấy x = 4 và  x = 3 đều thoả mãn. Vậy x = 4 hoặc x = 3 để chu vi tam giác ABC là 12.

c) Ta có AD = 2AC

⇒ $\sqrt{36-{\text{x}}^{\text{2}}}$ = 2$\sqrt{25-{\text{x}}^{\text{2}}}$

⇒ 36 – x² = 100 – 4x²

⇒ 3x²  –  64 = 0

⇒ x = $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ hoặc x = $-\frac{8\sqrt{3}}{3}$ mà x > 0 nên x = $\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

Thay x = $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ vào phương trình AD = 2AC thấy thỏa mãn. Vậy x = $\frac{8\sqrt{3}}{3}$.