Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{\text{AC}}$ là:

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 9.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Chọn đáp án A.

Bài 2 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{\text{OC}}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{\text{OC}}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\text{ED}}$.

Vậy có 2 vectơ thỏa mãn yêu cầu.

Bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}=\overrightarrow{\text{CB}}$.

Như vậy khẳng định C đúng. Khẳng định A, B, D sai.

Bài 4 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:

Lời giải:

Đáp án đúng là C

I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{IA}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$ = 0 hay $\overrightarrow{\text{IA}}=-\overrightarrow{\text{IB}}$.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 5 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có:

$\overrightarrow{\text{GA}}=-2\overrightarrow{\text{GI}}$. Khẳng định A sai.

$\overrightarrow{\text{IG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{IA}}$. Khẳng định B sai.

I là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}=2\overrightarrow{\text{GI}}=-\overrightarrow{\text{GA}}$. Khẳng định C đúng. Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 6 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Ta có:

( vì ). Vậy khẳng định A đúng. Khẳng định C sai.

Ta có: . Do đó khẳng định B sai.

Ta lại có: . Do đó khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 7 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Đặt $\overrightarrow{\text{a}}=\overrightarrow{\text{BC}}$, $\overrightarrow{\text{b}}=\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$. Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương? 

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có thể thấy:

Như vậy  và  là cặp vectơ cùng phương.

Bài 8 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A và có $\widehat{\text{B}}$ = 50°. Khẳng định nào sau đây là sai?

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Ta có: $\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{BC}}\right)=\left(-\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}\right)=-\left(\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ là góc kề bù với $\widehat{\text{ABC}}$ 

⇒ $\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ = 180° – 50° = 130°. Khẳng định A đúng.

$\left(\overrightarrow{\text{BC}},\overrightarrow{\text{AC}}\right)$ = $\left(\overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{CA}}\right)$ = $\widehat{\text{ACB}}$ = 90° – 50° = 40°. Khẳng định B đúng.

$\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ = $\left(\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ = $\widehat{\text{ABC}}$ = 50°. Khẳng định C đúng.

$\left(\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)=\left(-\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)=-\left(\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ là góc kề bù với $\widehat{\text{ACB}}$ 

⇒ $\left(\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ = 180° – 40° = 140°. Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án D.

Bài 9 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho $\overrightarrow{\text{a}}$ và $\overrightarrow{\text{b}}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Ta có:

Do $\overrightarrow{\text{a}}$ và $\overrightarrow{\text{b}}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{\text{0}}$ nên  = cos0° = 1.

Vậy . Đáp án A đúng.

Bài 10 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Khẳng định nào sau đây là sai?

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Do AB ⊥ AC nên 

Ta lại có  (vì $\widehat{B}$ là góc nhọn nên cos$\widehat{B}$ > 0). Do đó $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AC}}<\overrightarrow{\text{BA}}.\overrightarrow{\text{BC}}\text{}$.

Khẳng định A đúng.

$\left(\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)=\left(-\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)=-\left(\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ là góc tù nên $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}=\overrightarrow{\left|\text{AC}\right|}.\left|\overrightarrow{\text{CB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ < 0;

$\left(\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ là góc nhọn nên $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}=\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|.\overrightarrow{\left|\text{BC}\right|}.\cos \left(\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}\right)$> 0. Suy ra $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}<\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}\text{}$. Khẳng định B đúng.

$\left(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{BC}}\right)=\left(-\overrightarrow{BA},\overrightarrow{\text{BC}}\right)=-\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ là góc tù nên $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{BC}}$ < 0; $\left(\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ là góc nhọn nên $\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}}$ > 0. Suy ra $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{BC}}<\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}}$. Khẳng định C đúng.

$\left(\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}\right)$ là góc nhọn nên $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}$ > 0; $\left(\overrightarrow{\text{BC}}.\overrightarrow{\text{AB}}\right)$ là góc tù nên $\overrightarrow{\text{BC}}.\overrightarrow{\text{AB}}$ < 0. Suy ra $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}>\overrightarrow{\text{BC}}.\overrightarrow{\text{AB}}$.

Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án D.

B. Tự luận

Bài 1 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}$ và $\overrightarrow{\text{AC}}$:

a) cùng hướng?

b) ngược hướng?

Lời giải:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}$ và $\overrightarrow{\text{AC}}$ cùng hướng khi B nằm giữa A và C.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}$ và $\overrightarrow{\text{AC}}$ ngược hướng khi A nằm giữa B và C.

Bài 2 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ  cùng phương. Chứng tỏ rằng có ít nhất hai vectơ cùng hướng trong ba vectơ đó.

Lời giải:

Trong ba vectơ  chọn hai vectơ tùy ý:

- Nếu chúng cùng hướng thì đó là hai vectơ cần tìm.

- Nếu chúng ngược hướng thì vectơ còn lại sẽ cùng hướng với một trong hai vectơ đã chọn.

Bài 3 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC và B’ là điểm đối xứng với B qua tâm O. Hãy so sánh các vectơ $\overrightarrow{\text{AH}}$ và $\overrightarrow{\text{B'C}}$, $\overrightarrow{\text{AB'}}$ và $\overrightarrow{\text{HC}}$.

Lời giải:

Do BB’ là đường kính nên $\widehat{\text{BCB'}}$ = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

⇒ BC ⊥ B’C.

H là trực tâm tam giác ABC nên BC ⊥ AH.

Suy ra AH // B’C ( do đều vuông góc với BC ).

Do BB’ là đường kính nên $\widehat{\text{BAB'}}$= 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

⇒ BA ⊥ B’A.

H là trực tâm tam giác ABC nên CH ⊥ BA.

Suy ra CH // B’A ( do đều vuông góc với BA ).

Như vậy AB’CH là hình bình hành ( DHNB hình bình hành )

Bài 4 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{\text{a}}$ và $\overrightarrow{\text{b}}$, ta có:

Vẽ ba điểm O, A, B sao cho . Ta có 

Trong tam giác OAB ta có bất đẳng thức:

$\left|\text{OA}-\text{AB}\right|$ ≤ OB ≤ OA + AB

Suy ra  $\overrightarrow{\left|\text{a}\right|}-\overrightarrow{\left|\text{b}\right|}<\left|\overrightarrow{\text{a}}+\overrightarrow{\text{b}}\right|<\overrightarrow{\left|\text{a}\right|}+\overrightarrow{\left|\text{b}\right|}$.

Bài 5 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Đặt $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}$

Ta có: $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{\text{OA}}+\left(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OE}}\right)+\left(\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}\right)$

Do OA nằm trên đường phân giác của $\widehat{\text{BOE}}$ và $\widehat{\text{DOC}}$ của hai tam giác cân BOE và DOC nên ta có các vectơ $\left(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OE}}\right)$ và $\left(\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}\right)$ nằm trên đường thẳng OA, suy ra $\overrightarrow{\text{u}}$ nằm trên đường thẳng OA.

Chứng minh tương tự ta có $\overrightarrow{\text{u}}$ cũng đồng thời nằm trên đường thẳng OB. Như vậy $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{\text{0}}$

Vậy  

Bài 6 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, gọi B’ là điểm đối xứng với C qua B, gọi C’ là điểm đối xứng với A qua C. Chứng minh rằng với một điểm O tùy ý, ta có: $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OA'}}+\overrightarrow{\text{OB'}}+\overrightarrow{\text{OC'}}$.

Lời giải:

A’ là điểm đối xứng với B qua A nên $\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{AA'}}$.

B’ là điểm đối xứng với C qua B nên $\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{BB'}}$.

C’ là điểm đối xứng với A qua C nên $\overrightarrow{\text{CA}}$ = $\overrightarrow{\text{CC'}}$.

Ta có:

Vậy $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OA'}}+\overrightarrow{\text{OB'}}+\overrightarrow{\text{OC'}}$.

Bài 7 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) $\left|\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\right|=\left|\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\right|$;

b) Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$.

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm BC ta có:

Khi đó tam giác ABC vuông tại A.

b) Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$ ⇔ $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$.$\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}\right)$ = $\overrightarrow{\text{0}}$

hay $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$.$\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$ = $\overrightarrow{\text{0}}$.

Suy ra AB²  – AC² = 0 hay AB = AC. Khi đó tam giác ABC cân tại A.

Vậy Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}\text{}$ khi tam giác ABC cân tại A.

Bài 8 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tứ giác ABCD là tứ giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) $\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{DC}}$;

b) $\overrightarrow{\text{DB}}=\text{k}\overrightarrow{\text{DC}}+\overrightarrow{\text{DA}}$.

Lời giải:

a) ⇒ ABCD là hình bình hành.

b) 

Như vậy ta có ABCD là hình thang.

Bài 9 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Ta có: MA = NB và hai vectơ $\text{}\overrightarrow{\text{MA}}$, $\overrightarrow{\text{NB}}$ cùng phương, ngược chiều ⇒ $\text{}\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{NB}}$ = $\overrightarrow{\text{0}}$

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: 

Vậy G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.

Bài 10 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm O, M, N và số thực k. Lấy các điểm M’ và N’ sao cho $\overrightarrow{\text{OM'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{OM}}$, $\overrightarrow{\text{ON'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{ON}}$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{M'N'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{MN}}$.

Lời giải:

Ta có:

Vậy .

Bài 11 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, O là điểm sao cho ba vectơ  có độ dài bằng nhau và . Tính các góc $\widehat{\text{AOB}}$, $\widehat{\text{BOC}}$, $\widehat{\text{COA}}$.

Lời giải:

Ta có OA = OB = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có  nên O cũng là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra ABC là tam giác đều ( vì tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau).

⇒ AB = BC = CA.

Như vậy $\widehat{\text{AOB}}$ = $\widehat{\text{BOC}}$= $\widehat{\text{COA}}$ = $\frac{360°}{3}$ = 120° ( vì đều là góc ở tâm chắn các cung bằng nhau ).

Bài 12 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác NRQ, ta có 

N là trung điểm của AB nên 

Tương tự ta có:  và 

( Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên 

và 

Suy ra G cũng là trọng tâm tam giác EMP.

Vậy hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.