Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a.

Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\text{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}$.

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC ⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\text{AC}}$ = 0;

Ta có: 

Tam giác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{\text{ACB}}$ = 45°

Như vậy: 

Vậy $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\text{AC}}$ = 0 và $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}$= –a².

Bài 2 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và AD = 2a, AB = a. Tính:

a) $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AO}}$;

b) $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AD}}$.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD = a, AD = BC = 2a.

Ta có: AC = $\sqrt{{\text{AB}}^2+{\text{BC}}^2}$ = $\sqrt{{\text{a}}^2+{\left(2\text{a}\right)}^2}$ = a$\sqrt{5}$.

Xét tam giác BAC vuông tại B, có: cos$\widehat{\mathrm{BAO}}$ = cos$\widehat{\mathrm{BAC}}$= $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{1}{\sqrt{5}}$.

ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC và BD

⇒ AO = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{\text{a}\sqrt{5}}{2}$.

$\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AO}}$ = $\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|.\left|\overrightarrow{\text{AO}}\right|$. cos$\widehat{\mathrm{BAO}}$ =

Vậy 

b) Do ABCD là hình chữ nhật nên 

Bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AM và BN cắt nhau tại I như Hình 5.

a) Chứng minh

b) Tính  theo R.

Lời giải:

a) AB là đường kính nên $\widehat{\text{AMB}}$ = $\widehat{\text{ANB}}$ = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).

AM ⊥ MB và AN ⊥ NB.

Ta có:

Mà AI ⊥ BM do AM ⊥ MB nên 

Như vậy 

Tương tự ta có: 

Mà BI ⊥ AN do AN ⊥ NB nên 

Như vậy 

b) Ta có:

Bài 4 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Tính công sinh bởi một lực $\overrightarrow{\text{F}}$ có độ lớn 60N kéo một vật dịch chuyển một vectơ $\overrightarrow{\text{d}}$ có độ dài 200 m. Biết $\left(\overrightarrow{\text{F}}\text{, }\overrightarrow{\text{d}}\right)$ = 60°.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính công ta có:

= 60.200.cos60° = 6000 (J).

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng 6000 J.

Bài 5 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 6 và 8 có tích vô hướng là 24. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Lời giải:

Gọi hai vectơ lần lượt là $\overrightarrow{{\text{v}}_{\text{1}}}$, $\overrightarrow{{\text{v}}_{\text{2}}}$ và góc giữa hai vectơ là α.

Ta có  = 6.8.cos α = 24 

Vậy góc giữa hai vectơ đề cho là 60°.