Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 1 trang 96 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{AC}}=3\overrightarrow{\text{AG}}$.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó 

G là trọng tâm tam giác ABD 

Vậy  hay .

Bài 2 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:

a) $2\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{0}$;

b) $2\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=4\overrightarrow{\text{OD}}$, với O là điểm tùy ý.

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của BC nên: $\overrightarrow{\text{DB}}+\text{}\overrightarrow{\text{DC}}=2\overrightarrow{\text{DM}}$.

Mặt khác do D là trung điểm đoạn AM nên $\overrightarrow{\text{DM}}=-\overrightarrow{\text{DA}}\text{}$

Vậy nên $\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}$ = –2$\overrightarrow{\text{DA}}$ hay $2\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}=2\overrightarrow{\text{DA}}-2\overrightarrow{\text{DA}}=\overrightarrow{0}$.

b) Ta có:

Vậy  hay 

Bài 3 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}$.

b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MC}}=3\overrightarrow{\text{MG}}$.

Lời giải:

a) Với điểm M bất kì ta có: 

I là trung điểm đoạn thẳng AB nên 

Khi đó: 

Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}$.

b) Với điểm M bất kì ta có:

G là trọng tâm tam giác ABC nên 

Khi đó 

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi .

Bài 4 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho $3\overrightarrow{\text{KA}}+2\overrightarrow{\text{KB}}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Vì $3\overrightarrow{\text{KA}}+2\overrightarrow{\text{KB}}=\overrightarrow{0}$ nên $3\overrightarrow{\text{KA}}=-2\overrightarrow{\text{KB}}$

Suy ra

Do đó 

Nên 

Vậy K nằm giữa A và B sao cho AK = $\frac{2}{5}$AB.

Bài 5 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{\text{MN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}$.

Tương tự ta có: 

Suy ra

Vậy 

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR ta có: 

Ta lại có:

Suy ra

Mà

Do đó 

Suy ra G là trọng tâm của tam giác NQS.

Như vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 6 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Máy bay A với vận tốc $\overrightarrow{a}$, máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$  của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của máy bay A.

Lời giải:

Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A nên vectơ vận tốc của máy bay B là: $\overrightarrow{\text{b}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{a}}$.