Cho tứ giác ABCD có là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng minh rằng \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC\,.\,BD\,.\,\sin \alpha \).
Ta có: sin α = sin (180° − α)
SABCD = SIAB + SIBC + SICD + SIDA
\( = \frac{1}{2}IA\,.\,IB\,.\,\sin \widehat {AIB} + \frac{1}{2}IB\,.\,IC\,.\,\sin \widehat {BIC} + \frac{1}{2}IC\,.\,ID\,.\,\sin \widehat {CID} + \frac{1}{2}ID\,.\,IA\,.\,\sin \widehat {DIA}\)
\( = \frac{1}{2}IA\,.\,IB\,.\,\sin \alpha + \frac{1}{2}IB\,.\,IC\,.\,\sin \alpha + \frac{1}{2}IC\,.\,ID\,.\,\sin \alpha + \frac{1}{2}ID\,.\,IA\,.\,\sin \alpha \)
\( = \frac{1}{2}\sin \alpha \left( {IA\,.\,IB\, + IB\,.\,IC\, + IC\,.\,ID\, + ID\,.\,IA} \right)\)
\[ = \frac{1}{2}\sin \alpha \left[ {IB\,\left( {IA\, + IC} \right)\, + ID\,\left( {IA\, + IC} \right)\,} \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\sin \alpha \left( {IB + ID} \right)\left( {IA\, + IC} \right)\]
\[ = \frac{1}{2}AC\,.\,BD\,.\,\sin \alpha \] (đpcm)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.
b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).
Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0 \)
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B và C.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt tia DE tại . Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE.\)
Cho x + y + z = 0. Rút gọn: \(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}}}\).
Một kho gạo có 246,75 tấn gạo người ta chuyển đi \(\frac{4}{5}\) số gạo của kho. Hỏi kho còn lại bao nhiêu ki lô gam gạo?
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Chứng minh DF ^ CE và ∆MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
Cho 4 điểm A(1; 2) và B(−1; 4); C(2; 2); D(−3; 2). Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo ra khi cho hình thang ABCD quay quanh trục AD.
Cho tam giác nhọn ABC, \(\widehat B > \widehat C\). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Sắp xếp các đoạn thẳng AB, AH, AC theo thứ tự độ dài tăng dần.