Thứ sáu, 04/04/2025
IMG-LOGO

Câu hỏi:

17/07/2024 50

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC .

a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE, BOCF là hình vuông

b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI ^ CD

c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE = 6. Tính độ dài các cạnh của hình vuông ABCD

d) Lấy K là 1 điểm bất kì trên BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác AIK. Chứng minh G thuộc 1 đường thẳng cố định khi K di chuyển trên BC

 Xem lời giải

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối  (ảnh 1)

a) Gọi giao điểm của AD và EO là T

Giao điểm của BC và OF là H

Xét tứ giác EAOD có

\(\left. \begin{array}{l}AT = TD\\ET = TO\end{array} \right\} \Rightarrow EAOD\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà AD ^ EO nên tứ giác EAOD là hình thoi.

Hình thoi EAOD có \[\widehat {AOD} = 90^\circ \] nên là hình vuông.

Vậy EAOD là hình vuông theo dấu hiệu nhận biết hình thoi có 1 góc vuông.

Chứng minh tương tự với tứ giác OBFC.

b) Xét 2 tam giác ECF và FDE có:

\(\widehat {CFE} = \widehat {DEF} = 45^\circ \)

EF chung

FC = DE

Þ ΔECF = ∆FDE (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {FEC} = \widehat {EFD}\)

Vậy tam giác EFI cân.

Mà O là trung điểm của EF Þ OI ^ EF (trong tam giác cân đường trung tuyến cũng là đường cao)

c) Ta có: ΔAED = ∆ABO = ∆BCO = ∆COD = ∆DOA = ∆BFC

SAED + SABO + SBCO + SCOD + SDOA + SBFC = SABFCDE = 6

Þ SABO = SBCO = SCOD = SDOA = 1

Þ SABCD = SABO + SBCO + SCOD + SDOA = 4

\( \Rightarrow AB = BC = CD = AD = \sqrt 4 = 2\)

d) Gọi M là giao điểm của IO với AB, N là giao điểm của IM với AK, ta có:

IO ^ FE Þ IO ^ AB Þ OM ^ AB, mà O là trung điểm của của HT nên M là trung điểm của AB.

Xét tam giác ABK có:

MA = MB (cmt)

MN // BK (vì MO // CD)

Do đó NA = NK

Þ N là trung điểm của AK

Þ IN là đường trung tuyến của ∆AIK.

Mà G là trọng tậm tam giác nên G Î IN

Þ G Î M với IM cố định (I, M cố định).

Vậy điểm G luôn nằm trên đường thẳng cố định IM.

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.

b) Chứng minh: ME // BN.

c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.

Xem đáp án » 03/04/2024 116

Câu 2:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.

Xem đáp án » 03/04/2024 111

Câu 3:

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

Xem đáp án » 03/04/2024 82

Câu 4:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right|\), I là trung điểm BC.

Xem đáp án » 03/04/2024 79

Câu 5:

Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.

Xem đáp án » 03/04/2024 78

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(0; 1); B(1; 3); C(2; 7) và D(0; 3). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.

Xem đáp án » 03/04/2024 77

Câu 7:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính  \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).

Xem đáp án » 03/04/2024 77

Câu 8:

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC

a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.

b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.

Xem đáp án » 03/04/2024 76

Câu 9:

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B và C.

a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.

c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt tia DE tại . Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE.\)

Xem đáp án » 03/04/2024 76

Câu 10:

Giải phương trình:

a) sin 5x + sin 8x + sin 3x = 0;

b) \(4{\cos ^3}x + 3\sqrt 2 \sin 2x = 8\cos x\).

Xem đáp án » 03/04/2024 75

Câu 11:

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1.

Xem đáp án » 04/04/2024 75

Câu 12:

Tính A = cos2 10° + cos2 20° + ... + cos2 70° + cos2 80°.

Xem đáp án » 03/04/2024 75

Câu 13:

Cho 4 điểm A(1; 2) và B(−1; 4); C(2; 2); D(−3; 2). Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD.

Xem đáp án » 03/04/2024 75

Câu 14:

Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ điểm E đối xứng với B qua điểm C; vẽ F đối xứng với điểm D qua C.

a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.

b) Chứng minh AC = DE.

c) Gọi H là trung điểm của CD, K là trung điểm của EF. Chứng minh HK // AC.

d) Biết diện tích tam giác AEF bằng 30 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

Xem đáp án » 03/04/2024 75

Câu 15:

Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0 \)

Xem đáp án » 03/04/2024 74

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »