Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh: \(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \frac{z}{{\sqrt {{z^2} + 1} }} \le \frac{3}{2}\).
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \frac{z}{{\sqrt {{z^2} + 1} }}\)
\( = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + xy + yz + zx} }} + \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + xy + yz + zx} }} + \frac{z}{{\sqrt {{z^2} + xy + yz + zx} }}\)
\( = \frac{x}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} + \frac{y}{{\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)} }} + \frac{z}{{\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)} }}\)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
• \(\frac{x}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + y}} + \frac{x}{{x + z}}} \right)\)
• \(\frac{y}{{\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{y + z}} + \frac{y}{{y + x}}} \right)\)
• \(\frac{z}{{\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{z}{{z + x}} + \frac{z}{{z + y}}} \right)\)
Cộng vế theo vế:
\(\frac{x}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} + \frac{y}{{\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)} }} + \frac{z}{{\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)} }}\)
\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{x + y}}{{x + y}} + \frac{{y + z}}{{y + z}} + \frac{{z + x}}{{z + x}}} \right) = \frac{3}{2}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Vậy \(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \frac{z}{{\sqrt {{z^2} + 1} }} \le \frac{3}{2}\) khi \(x = y = z = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.
b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(0; 1); B(1; 3); C(2; 7) và D(0; 3). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.
Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.
Cho tam giác nhọn ABC, \(\widehat B > \widehat C\). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Sắp xếp các đoạn thẳng AB, AH, AC theo thứ tự độ dài tăng dần.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = 6a, AD = 3a, CD = 3a. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = a. Tính \(T = \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right)\,.\,\overrightarrow {CB} \).
Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0 \)
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1.
Cho tứ giác ABCD có là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng minh rằng \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC\,.\,BD\,.\,\sin \alpha \).
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right|\), I là trung điểm BC.
