Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Chứng minh DF ^ CE và ∆MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
a) Xét ∆AEH và ∆BEF, có:
AE = BE (E là trung điểm AB);
AH = BF (do \(AH = \frac{1}{2}AD,\;BF = \frac{1}{2}BC\) và AD = BC);
\(\widehat {HAE} = \widehat {EBF} = 90^\circ \)
Do đó ∆AEH = ∆BEF (c.g.c).
Suy ra HE = EF (cặp cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự, ta được EF = GF và GH = GF.
Do đó tứ giác EFGH là hình thoi (1)
Ta có BE = BF (do \(BE = \frac{1}{2}AB,\;BF = \frac{1}{2}BC\) và AB = BC)
và \(\widehat {EBF} = 90^\circ \) (do ABCD là hình vuông).
Suy ra ∆BEF vuông cân tại B.
Do đó \(\widehat {BEF} = 45^\circ \)
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {AEH} = 45^\circ \)
Ta có \(\widehat {AEH} + \widehat {HEF} + \widehat {FEB} = 180^\circ \) (kề bù).
\( \Leftrightarrow \widehat {HEF} = 180^\circ - \widehat {AEH} - \widehat {FEB} = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ \;\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2), suy ra tứ giác EFGH là hình vuông.
b) Xét ∆CBE và ∆DCF, có:
CB = DC (ABCD là hình vuông);
\(\widehat {CBE} = \widehat {DCF} = 90^\circ \)
BE = CF (do \(BE = \frac{1}{2}AB,\;CF = \frac{1}{2}BC\) và AB = BC).
Do đó ∆CBE = ∆DCF (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {ECB} = \widehat {FDC}\) (cặp góc tương ứng).
Mà \(\widehat {DFC} + \widehat {FDC} = 90^\circ \) (∆DFC vuông tại C).
Do đó \(\widehat {DFC} + \widehat {ECB} = 90^\circ \)
Tam giác CFM, có: \(\widehat {CMF} = 180^\circ - \left( {\widehat {DFC} + \widehat {ECB}} \right) = 90^\circ \)
Vậy DF ^ CE tại M.
Gọi P là giao điểm của AG và DF.
Chứng minh tương tự như trên, ta được AG ^ DF tại P.
Mà CE ^ DF (chứng minh trên).
Suy ra CE // AG.
∆DMC có: G là trung điểm của DC (giả thiết) và PG // MC (chứng minh trên).
Suy ra GP là đường trung bình của ∆DMC.
Do đó P là trung điểm DM.
∆AMD có: AP vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.
Vậy ∆AMD cân tại A.
c) Xét ∆DMC và ∆DCF, có:
\(\widehat {MDC}\) chung;
\(\widehat {DMC} = \widehat {DCF} = 90^\circ \)
Do đó ∆DMC ᔕ ∆DCF (g.g).
Suy ra \(\frac{{DM}}{{DC}} = \frac{{MC}}{{CF}} = \frac{{DC}}{{DF}}\) (*)
Ta có \({S_{DMC}} = \frac{1}{2}MC\,.\,MD\) và \({S_{DCF}} = \frac{1}{2}DC\,.\,CF\)
Suy ra \(\frac{{{S_{DMC}}}}{{{S_{DCF}}}} = \frac{{MC\,.\,MD}}{{DC\,.\,CF}} = \frac{{D{M^2}}}{{D{C^2}}}\)
Do đó \({S_{DMC}} = \frac{{D{M^2}}}{{D{C^2}}}.\,{S_{DCF}} = \frac{{D{M^2}}}{{D{C^2}}}.\,\frac{1}{2}CD\,.\,CF = \frac{{D{M^2}}}{{{a^2}}}\,.\,\frac{1}{2}a\,.\,\frac{a}{2} = \frac{{D{M^2}}}{4}\)
Tam giác CDF vuông tại C:
\(DF = \sqrt {D{C^2} + C{F^2}} = \sqrt {D{C^2} + {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Từ (*), ta có: DM.DF = DC2.
\( \Leftrightarrow DM\,.\,\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = {a^2}\)
\( \Rightarrow DM\, = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)
Vậy \({S_{DMC}} = \frac{{D{M^2}}}{4} = {\left( {\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}} \right)^2}\,.\,\frac{1}{4} = \frac{{{a^2}}}{5}\).
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết tổng của 3 chữ số này là 18.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {BD} \).
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0 \)
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.
b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
Một kho gạo có 246,75 tấn gạo người ta chuyển đi \(\frac{4}{5}\) số gạo của kho. Hỏi kho còn lại bao nhiêu ki lô gam gạo?
Cho x + y + z = 0. Rút gọn: \(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}}}\).
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B và C.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt tia DE tại . Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE.\)
Cho hình bình hành ABCD có \[\widehat A = \;\alpha \; > \;90^\circ \]. Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các tam giác đều ADF, ABE. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right|\), I là trung điểm BC.
Tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và \(\widehat A = 60^\circ .\) Tính độ dài cạnh BC.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo ra khi cho hình thang ABCD quay quanh trục AD.