Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác.

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \) và biểu diễn \(\overrightarrow {AJ} \) qua \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).

b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \).

Lời giải

a) Ta có I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI.

\( \Rightarrow \frac{{BI}}{{CI}} = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{2}{5}\).

\( \Rightarrow BI = \frac{2}{5}BC\).

Chứng minh tương tự, ta được: \(IC = \frac{3}{5}BC\).

Lại có J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.

\( \Rightarrow \frac{{JB}}{{IC}} = \frac{2}{5}\).

\( \Rightarrow \frac{{JB}}{{BC}} = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow JB = \frac{2}{3}BC\) và \(BC = \frac{3}{5}JC\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}.\frac{3}{2}\overrightarrow {JB} = \overrightarrow {AI} - \frac{3}{5}\overrightarrow {JB} \).

\( = \overrightarrow {AI} - \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} - \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} \).

Do đó \(\overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} \)            (1)

Ta có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}.\frac{3}{5}\overrightarrow {JC} = \overrightarrow {AI} + \frac{9}{{25}}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AC} } \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AC} - \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} - \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AJ} \).

Do đó \(\overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} \)         (2)

Từ (1), (2), suy ra \(\frac{5}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AJ} \).

Do đó \[\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \].

Vậy \(\overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} \); \(\overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} \) và \[\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \].

b) Gọi H là trung điểm BC. Dựng hình bình hành ABKC.

Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{1}{3}\left( {\frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} + \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} } \right)\).

\( = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AJ} \).

Vậy \(\overrightarrow {AG} = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AJ} \).