Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD.

a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

b) Tính diện tích thiết diện đó.

Lời giải

a) Trong (BCD): gọi M = JK ∩ CD.

Trong (ACD): gọi N = IM ∩ AD.

Ta có:

⦁ (IJK) ∩ (ABC) = IJ.

⦁ (IJK) ∩ (BCD) = JK.

⦁ (IJK) ∩ (ABD) = KN.

⦁ (IJK) ∩ (ACD) = NI.

Suy ra thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) là tứ giác IJKN.

Ta có I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC.

Suy ra IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó IJ // AB.

Mà IJK) ∩ (ABD) = KN.

Vì vậy KN // AB // IJ    (1)

Áp dụng định lí Thales, ta có \(\frac{{AN}}{{DA}} = \frac{{BK}}{{DB}} = \frac{2}{3}\).

Mà BD = AD (do ABCD là tứ diện đều).

Suy ra AN = BK.

Ta có ∆AIN = ∆BJK (c.g.c).

Suy ra IN = JK      (2)

Từ (1), (2), suy ra tứ giác IJKN là hình thang cân.

b) Kẻ NH ⊥ IJ tại H và KE ⊥ IJ tại E.

Ta có \(IJ = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\); \(NK = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}\);\(BJ = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) và \(BK = \frac{2}{3}BD = \frac{{2a}}{3}\).

Ta có IH = EJ và NK = HE.

Suy ra \(IH = \frac{{IJ - NK}}{2} = \frac{{\frac{a}{2} - \frac{a}{3}}}{2} = \frac{a}{{12}}\).

Ta có \[J{K^2} = B{J^2} + B{K^2} - 2BJ.BK.\cos \widehat {JBK}\]

                 \[ = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{4{a^2}}}{9} - 2.\frac{a}{2}.\frac{{2a}}{3}.\cos 60^\circ = \frac{{13{a^2}}}{{36}}\].

Suy ra \(NI = JK = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}\).

Tam giác NIH vuông tại H:

\(NH = \sqrt {N{I^2} - I{H^2}} = \sqrt {\frac{{13{a^2}}}{{36}} - \frac{{{a^2}}}{{144}}} = \frac{{a\sqrt {51} }}{{12}}\).

Diện tích hình thang IJKN là:

\(S = \frac{{NH.\left( {NK + IJ} \right)}}{2} = \frac{{\frac{{a\sqrt {51} }}{{12}}.\left( {\frac{a}{3} + \frac{a}{2}} \right)}}{2} = \frac{{5{a^2}\sqrt {51} }}{{144}}\).

Vậy diện tích thiết diện bằng \(\frac{{5{a^2}\sqrt {51} }}{{144}}\).