Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
Lời giải
a) Trong (BCD): gọi M = JK ∩ CD.
Trong (ACD): gọi N = IM ∩ AD.
Ta có:
⦁ (IJK) ∩ (ABC) = IJ.
⦁ (IJK) ∩ (BCD) = JK.
⦁ (IJK) ∩ (ABD) = KN.
⦁ (IJK) ∩ (ACD) = NI.
Suy ra thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) là tứ giác IJKN.
Ta có I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC.
Suy ra IJ là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó IJ // AB.
Mà IJK) ∩ (ABD) = KN.
Vì vậy KN // AB // IJ (1)
Áp dụng định lí Thales, ta có \(\frac{{AN}}{{DA}} = \frac{{BK}}{{DB}} = \frac{2}{3}\).
Mà BD = AD (do ABCD là tứ diện đều).
Suy ra AN = BK.
Ta có ∆AIN = ∆BJK (c.g.c).
Suy ra IN = JK (2)
Từ (1), (2), suy ra tứ giác IJKN là hình thang cân.
b) Kẻ NH ⊥ IJ tại H và KE ⊥ IJ tại E.
Ta có \(IJ = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\); \(NK = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}\);\(BJ = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) và \(BK = \frac{2}{3}BD = \frac{{2a}}{3}\).
Ta có IH = EJ và NK = HE.
Suy ra \(IH = \frac{{IJ - NK}}{2} = \frac{{\frac{a}{2} - \frac{a}{3}}}{2} = \frac{a}{{12}}\).
Ta có \[J{K^2} = B{J^2} + B{K^2} - 2BJ.BK.\cos \widehat {JBK}\]
\[ = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{4{a^2}}}{9} - 2.\frac{a}{2}.\frac{{2a}}{3}.\cos 60^\circ = \frac{{13{a^2}}}{{36}}\].
Suy ra \(NI = JK = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}\).
Tam giác NIH vuông tại H:
\(NH = \sqrt {N{I^2} - I{H^2}} = \sqrt {\frac{{13{a^2}}}{{36}} - \frac{{{a^2}}}{{144}}} = \frac{{a\sqrt {51} }}{{12}}\).
Diện tích hình thang IJKN là:
\(S = \frac{{NH.\left( {NK + IJ} \right)}}{2} = \frac{{\frac{{a\sqrt {51} }}{{12}}.\left( {\frac{a}{3} + \frac{a}{2}} \right)}}{2} = \frac{{5{a^2}\sqrt {51} }}{{144}}\).
Vậy diện tích thiết diện bằng \(\frac{{5{a^2}\sqrt {51} }}{{144}}\).
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AM tại I cắt AC tại E.
a) Chứng minh BI.BE = 2BH.BM.
b) Chứng minh \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{B{E^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}\).
Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC. Lấy A thuộc (O) sao cho AB < AC, vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
a) Chứng minh: AH.BC = AB.AC.
b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh rằng: MA2 = MB.MC.
c) Kẻ HE vuông góc với AB (E thuộc AB) và HF vuông góc với AC (F thuộc AC). Chứng minh AM // EF.
Trong lớp 10C có 16 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Lí, 11 học sinh giỏi Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lí, 6 học sinh vừa giỏi Lí và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó có 11 học sinh giỏi đúng 2 môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp:
a) Giỏi cả ba môn.
b) Giỏi đúng 1 môn.
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, \[\widehat {BAC} = 60^\circ \]. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {BD} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
c) Chứng minh AM ⊥ BD.