Dấu hiệu chia hết lớp 4 và cách giải

I/ Lý thuyết
Dấu hiếu chia hết cho 2: Các số tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.

Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.

Dấu hiếu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

II. Các dạng bài tập

II.1. Dạng 1: Dấu hiếu chia hết cho 2

1. Phương pháp giải

- Các số tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.

Hoặc: Các số chẵn thì chia hết cho 2.

- Các số không tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 thì không chia hết cho 2.

Hoặc: Các số lẻ thì không chia hết cho 2.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số có hai chữ số chia hết cho 2?

Lời giải:

Các số chẵn thì chia hết cho 2.

Có 90 số có hai chữ số là các số từ 10 đến 99, trong đó cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại một số chẵn.

Dãy số bắt đầu từ số chẵn (10), kết thúc là số lẻ (99) nên số lượng số chẵn bằng số lượng số lẻ.

Số lượng số có hai chữ số chia hết cho 2 là: 90 : 2 = 45 (số)

Ví dụ 2: Cho các số sau: 45; 24; 67; 80; 23; 72; 100; 122

a, Tìm các số chia hết cho 2.

b, Tìm các số không chia hết cho 2.

Lời giải:

a, Các số chia hết cho 2 là: 24; 80; 72; 100; 122

b, Các số không chia hết cho 2 là: 45; 67; 23

 II.2/ Dạng 2: Dấu hiệu chia hết cho 5

1. Phương pháp giải

- Các số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.

- Các số không tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì không chia hết cho 5.

- Các số tận cùng bằng 0 vừa chia hết cho 2 và 5 đồng thời chia hết cho 10.

- Các số không tận cùng bằng 0 thì không thể vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và không chia hết cho 10.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số có hai chữ số chia hết cho 5? Là những số nào?

Lời giải:

Các số có hàng đơn vị là 0 hay 5 thì chia hết cho 5. Mà cứ 10 số tự nhiên liên tiếp thì có một số tận cùng là 5 và một số tận cùng là 0. Vậy số lượng số có hai chữ số chia hết cho 5 là:

                                   90 : 10 × 2 = 18 (số)

Đó là các số: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 90, 95.

Ví dụ 2: Cho các số sau: 437, 590, 698, 972, 856, 999, 435

+ Những số nào trong các số đã cho không chia hết cho 5?

+ Mỗi số đó chia cho 5 dư bao nhiêu? Cách tìm nhanh nhất?

Lời giải:

Những số không chia hết cho 5 có hàng đơn vị khác 0 và 5. Đó là các số sau: 437; 698; 972; 856; 999

Số 437 chia 5 dư 2 vì: 7 – 5 = 2

Số 698 chia 5 dư 3 vì: 8 – 5 = 3

Số 972 chia 5 dư 2 vì: 2 – 0 = 2

Số 856 chia 5 dư 1 vì: 6 – 5 = 1

Số 999 chia 5 dư 4 vì: 9 – 5 = 4

II.3/ Dạng 3: Dấu hiếu chia hết cho 9

1. Phương pháp giải

- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

- Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì không chia hết cho 9, đồng thời tổng này chia cho 9 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 9 cũng dư bấy nhiêu.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:    

a, Những số nào trong các số dưới đây không chia hết cho 9?

                12 356; 123 642; 45 735; 46 872; 9357; 64973.

b, Mỗi số đó chia cho 9 dư bao nhiêu?

c, Tổng các chữ số của mỗi số đó chia cho 9 dư bao nhiêu?

Lời giải:

a, Những số có tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì không chia hết cho 9.

Đó là các số:

12356 vì 1 + 2 + 3 + 5 + 6  = 17 mà 17 không chia hết cho 9.

45735 vì 4 + 5 + 7 + 3 + 5  = 24 mà 24 không chia hết cho 9.

9357 vì 9 + 3 + 5 + 7 = 24 mà 24 không chia hết cho 9.

64973 vì 6 + 4 + 9 + 7 + 3 = 29 mà 29 không chia hết cho 9.

b, Vì 17 : 9 =1 dư 8 nên 12356 : 9 dư 8.

Vì 24 : 9 = 2 dư 6 nên 45735 : 9 dư 6.

Vì 24 : 9 = 2 dư 6 nên 9357 : 9 dư 6.

Vì 29 : 9 = 3 dư 2 nên 64 973 : 9 dư 2.

c, Tổng các chữ số của mỗi số chia cho 9 dư đúng bằng số dư của số đó chia cho 9.

Ví dụ 2:

a, Từ 9 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 9?

b, Từ 120 đến 150 có bao nhiêu số không chia hết cho 9?

Lời giải:

a, Từ 9 đến 100 có 11 số chia hết cho 9 là: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99

b, Từ 120 đến 150 có 29 số không chia hết cho 9.

II.4/ Dạng 4: Dấu hiếu chia hết cho 3

1. Phương pháp giải

- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

- Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho 3, đồng thời tổng này chia cho 3 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 3 cũng dư bấy nhiêu.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho các số sau: 810; 420; 321; 511; 300; 63; 981; 564

a, Tìm các số chia hết cho 3.

b, Tìm các số không chia hết cho 3.

Lời giải:

a, Các số chia hết cho 3 là: 810; 420; 321; 300; 63; 981; 564

b, Các số không chia hết cho 3 là: 511

Ví dụ 2: Dùng ba trong bốn chữ số 1, 5, 3, 0 hãy ghép thành 3 số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho các số đó chia hết cho 3.

Lời giải:

Ta có:

153 (vì 1 + 5 + 3 = 9 chia hết cho 3 nên 153 chia hết cho 3)

531 (vì 5 + 3 + 1 = 9 chia hết cho 3 nên 531 chia hết cho 3)

513 (vì 5 + 1 + 3 = 9 chia hết cho 3 nên 513 chia hết cho 3)

Vậy từ các số đã cho ta được 3 số có 3 chữ số: 153; 531; 513 chia hết cho 3.

II.5/ Dạng 5: Phối hợp các dấu hiếu chia hết

1. Phương pháp giải

- Số chia hết cho cả 2 và 5 là số có chữ số tận cùng là 0.

- Một số chia hết cho 9 thì phải chia hết cho 3, nhưng một số chia hết cho 3 thì chưa chắc chia hết cho 9.

- Một số chia hết cho 3 (hay cho 9) thì khi thay đổi vị trí các chữ số ta được một số mới, số mới cũng chia hết cho 3 (hay cho 9).

- Số chẵn có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho cả 2 và 3.

- Số có chữ số tận cùng là 0 hay 5 và có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho cả 3 và 5.

- Số có chữ số tận cùng là 0 hay 5 và có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9.

- Số chia hết cho cả 2, 3 và 5 là số có chữ số 0 tận cùng và tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.

- Số chia hết cho cả 2, 3, 5 và 9 là số có chữ số 0 tận cùng và tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các số 108; 1900; 1065; 510; 217.

a, Số nào chia hết cho cả 2 và 3?

b, Số nào chia hết cho cả 3 và 5?

c, Số nào chia hết cho cả 2; 3 và 5?

d, Số nào chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 3?

e, Số nào chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9?

Lời giải:

a, Số chia hết cho cả 2 và 3: 108; 510

b, Số chia hết cho cả 3 và 5: 1065; 510

c, Số chia hết cho cả 2; 3 và 5: 510

d, Số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 3: 1900

e, Số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9: 1065; 510

Ví dụ 2: Mai có một số kẹo ít hơn 55 cái và nhiều hơn 40 cái. Nếu Mai đem số kẹo đó chia đều cho 5 bạn hoặc chia đều cho 3 bạn thì cũng vừa hết. Hỏi Mai có bao nhiêu cái kẹo?

Lời giải:

Đem số kẹo chia đều cho 5 bạn hoặc chia đều cho 3 bạn thì cũng vừa hết, vậy số kẹo là một số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 3. Số kẹo đã cho ít hơn 55 cái và nhiều hơn 40 cái. Vậy số kẹo của Mai là 45 cái.

III. Bài tập vận dụng

1. Bài tập có lời giải

Bài 1: Thay a, b trong số 2007ab bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2; 5 và 9.

Lời giải: 

Số 2007ab đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0. Thay b = 0 vào số 2007ab ta được 2007a0. Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Vậy (2 + 0 + 0 + 7 + a + 0) chia hết cho 9 hay 9 + a chia hết cho 9, suy ra a = 0 hoặc a = 9.

Vậy ta tìm được 2 số thoả mãn bài toán là 200700; 200790.

Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức là:

- A - r chia hết cho B (1)

- A + (B - r) chia hết cho B (2)

Từ đó các bạn có thể giải quyết bài toán:

Bài 2: Cho A = x459y. Hãy thay x, y bởi chữ số thích hợp để A chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.

Nhận xét: A chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1 nên A - 1 đồng thời chia hết cho 2; 5 và 9. Vậy ta có thể giải bài toán dựa vào điều kiện (1) A - r chia hết cho B để giải.

Lời giải: 

Vì A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1 nên A - 1 chia hết cho 2 ; 5 và 9. Vậy chữ số tận cùng của A - 1 phải bằng 0, suy ra y = 1. Vì A - 1 chia hết cho 9 nên x + 4 + 5 + 9 + 0 chia hết cho 9 hay x + 18 chia hết cho 9. Do 18 chia hết cho 9 nên x chia hết cho 9, nhưng x là chữ số hàng cao nhất nên x khác 0. Từ đó x chỉ có thể bằng 9. Thay x = 9 ; y = 1 vào A ta được số 94591.

Ở bài toán trên A chia cho các số có cùng số dư. Bây giờ ta xét:

Bài 3: Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2; chia cho 4 dư 3 và chia cho 5 dư 4.

Tuy các số dư khác nhau nhưng: 2 - 1 = 1 ; 3 - 2 = 1 ; 4 - 3 = 1 ; 5 - 4 = 1. Như vậy ta có thể sử dụng điều kiện (2) A + (B - r) chia hết cho B để giải bài toán này.

Lời giải: 

Gọi số cần tìm là A. Vì A chia cho 2 dư 1 và A chia cho 5 dư 4 nên A + 1 đồng thời chia hết cho 2 và 5. Vậy chữ số tận cùng của A + 1 là 0. Hiển nhiên A +1 không thể có 1 chữ số. Nếu A + 1 có 2 chữ số thì có dạng x0. Vì x0 chia hết cho 3 nên x chỉ có thể là 3; 6; 9 ta có số 30; 60; 90. Trong 3 số đó chỉ có 60 là chia hết cho 4.

Vậy A +1 = 60

A = 60 - 1

A = 59

Do đó số cần tìm là 59.

Bài 4: Một số nhân với 9 thì được kết quả là 180 648 07? Hãy tìm số đó.

Lời giải: 

Một số nhân với 9 thì được kết quả là 180 648 07? nên số 180 648 07? chia hết cho 9. Vì số 180 648 07? chia hết cho 9 nên (1 + 8 + 0 + 6 + 4 + 8 + 0 + 7 + ?) chia hết cho 9, hay 34 + ? chia hết cho 9, suy ra ? = 2. Thay ? = 2 vào số 180 648 07? ta được 180 648 072. Số cần tìm là:

180 648 072: 9 = 20072008.

Bài 5: Cho số tự nhiên A. Người ta đổi chỗ các chữ số của A để được số B gấp 3 lần số A. Chứng tỏ rằng số B chia hết cho 27.

Lời giải:

Theo bài ra ta có: B = 3 x A (1), suy ra B chia hết cho 3, nhưng tổng các chữ số của số A và số B như nhau (vì người ta chỉ đổi chỗ các chữ số) nên ta cũng có A chia hết cho 3 (2). Từ (1) và (2) suy ra B chia hết cho 9. Nếu vậy thì A chia hết cho 9 (vì tổng các chữ số của chúng như nhau) (3). Từ (1) và(3), suy ra B chia hết cho 27.

Bài 6: Điền các chữ số thích hợp (các chữ cái khác nhau được thay bởi các chữ số khác nhau)

HALONG + HALONG + HALONG = TTT2006

Lời giải: 

Ta có vế trái: HALONG + HALONG + HALONG = 3 x HALONG. Như vậy vế trái là một số chia hết cho 3. Vế phải TTT2006 có: (T + T + T + 2 + 0 + 0 + 6) = 3 x T + 6 + 2 = 3 x (T + 2) + 2 không chia hết cho 3, suy ra TTT2006 không chia hết cho 3. Điều này chứng tỏ không thể tìm được các chữ số thoả mãn bài toán.

2. Bài tập vận dụng

Bài 1: Từ 4 chữ số 3; 4; 5; 0. Hãy ghép thành các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau thỏa mãn:

a) Chia hết cho 3.

b) Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Bài 2: Cho số 3*46. Hãy thay dấu * bằng chữ số để được số chia hết cho 3.

Bài 3: Cho số 4*59. Hãy thay dấu * bằng chữ số để được số chia hết cho 9. Có mấy cách thay?

Bài 4: Trong các số 328; 17; 9005; 3330; 17 652; 499; 1234; 511:

a) Số nào chia hết cho 2?

b) Số nào không chia hết cho 2?

Bài 5: Trong các số 97; 375; 2000; 554; 8780; 12 068; 1605; 691:

a) Số nào chia hết cho 5?

b) Số nào không chia hết cho 5?

Bài 6: Trong các số 84; 1008; 2115; 991; 9099:

a) Số nào chia hết cho 9?

b) Số nào không chia hết cho 9?

Bài 7: Trong các số 156; 2018; 2505; 11 200; 781:

a) Số nào chia hết cho 3?

b) Số nào không chia hết cho 3?

Bài 8: Trong các số 265; 840; 358; 143; 3000; 2895; 1010; 721:

a) Số nào vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5?

b) Số nào chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5?

c) Số nào chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2?

d) Số nào không chia hết cho cả 2 và 5?

Bài 9: Với ba chữ số 0; 5; 7 hãy viết một số lẻ có ba chữ số (ba chữ số khác nhau) và chia hết cho 5.

Bài 10: Với bốn chữ số 0; 1; 4; 5 hãy viết một số có ba chữ số (ba chữ số khác nhau) vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9.

Bài 11: Câu nào đúng, câu nào sai ?

a) Số có chữ số tận cùng là 4 thì chia hết cho 2.

b) Số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 4.

c) Số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 0.

d) Số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 5.

e) Số có chữ số tận cùng là 5 thì chia hết cho 5.

Bài 12: Tìm X, biết :

a) X chia hết cho 2 và 150 < X < 160;

b) X chia hết cho 3 và 360 < X < 370;

c) X vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 và 200 < X < 250;

d) X là số lẻ, X chia hết cho 5 và 121 < X < 133.

Bài 13: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 sao cho khi chia cho 2 ; 3 ; 4 ; 5 và 7 đều dư 1.

Bài 14: Cho số a765b ; tìm a ; b để khi thay vào số đã cho ta được số có 5 chữ số chia cho 2 dư 1 ; chia cho 5 dư 3 và chia cho 9 dư 7.

Bài 15: Hãy viết thêm 3 chữ số vào bên phải số 567 để được số lẻ có 6 chữ số khác nhau, khi chia số đó cho 5 và 9 đều dư 1.

Bài 16: Tìm số có 4 chữ số chia hết cho 2 ; 3 và 5, biết rằng khi đổi chõ các chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hoặc hàng chục với hàng nghìn thì số đó không thay đổi.

Bài 17: Không làm phép tính, hãy xét xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không?

1. 240 + 123                                     240 - 123
2. 2454 + 374 + 135                        2454 - 374 - 135

Bài 18: Tìm số n sao cho n + 6  chia hết cho n + 1.

Bài 19: Viết thêm sau số 1 hai chữ số sao cho được một số có 3 chữ số và số này chia hết cho 6.

Bài 20: Không thực hiện phép chia hãy cho biết các số sau đây: 2015, 1975, 55555 có chia hết cho 15 không? Tại sao?

Bài 21: Viết thêm vào số 2017 hai chữ số tận cùng để được số mới (gồm 6 chữ số) chia hết cho 45.

Bài 22: Viết thêm vào số 1996 hai chữ số tận cùng để được một số chia hết cho các số 2, 5, 9.

Bài 23: Viết thêm số 459 vào giữa hai chữ số thì được một số (gồm 5 chữ số) mà khi chia cho 2, 5, 9 đều dư 1. Tìm số có 5 chữ số đó.

Bài 24: Có thể thay các chữ khác nhau trong biểu thức trên bởi các chữ số khác nhau để được đẳng thức :

CAM + QUYT + NHO = 1989 + 1990 + 1991 là đẳng thức đúng không?

Bài 25: Thực hiện các phép tính sau bằng cách nhanh nhất.

a) 1996 + 3992 + 5988 + 7984
b) 16 x 3 x 4 x 50 x 25 x 125
c) (45 x 46 x 47 x 49) x (50 x 51 - 49 x 48) x (45 x 128 - 90 x 64) x (1995 x 1996 + 1997 x 1998)

Bài 26: Lớp 4A có hơn 30 học sinh nhưng sĩ số không quá 40 mà xếp hàng đôi vào lớp thì hai hàng bằng nhau và chia làm 3 tổ thì có số học sinh bằng nhau. 

Bài 27: Mẹ mua kẹo về chia cho 2 anh em mỗi người được chia số kẹo như nhau thì vừa hết. Nhưng có 1 bạn đến chơi nên mẹ chia đều số kẹo cho hai anh em và cả bạn đến chơi cũng vừa khéo. Biết rằng mẹ mua không quá 15 chiếc và không ít hơn 10 chiếc. Hỏi mẹ mua bao nhiêu chiếc kẹo?

Bài 28: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104 quả, 115 quả, 132quả, 136 quả và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy rằng số chanh gấp 4 lần số cam còn lại. Hỏi cửa hàng đó còn bao nhiêu quả mỗi loại?

Bài 29: Lớp 4B xếp hàng hai được một số hàng không thừa bạn nào, xếp hàng ba hay hàng bốn đều được một số hàng không thừa bạn nào. Nếu đếm tổng các hàng xếp được đó thì được 39 hàng. Hỏi lớp 4B có bao nhiêu bạn?

Bài 30: An và Khang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan. An đưa cho cô bán hàng 4 tờ mỗi tờ 50000 đồng và được trả lại 72000000 đồng. Khang nói: “ Cô tính sai rồi.” Bạn hãy cho biết Khang nói đúng hay sai? Giải thích tại sao?