Toán quy luật lớp 4 và cách giải

I/ Lý thuyết

Trước hết ta cần xác định quy luật của dãy số.

Những quy luật thường gặp là:

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên d;

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên q khác 0;

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó;

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự của số hạng ấy;

+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;
II/ Các dạng bài tập

II.1/ Dạng 1: Dãy số cách đều

1. Phương pháp giải

Xác định quy luật của dãy số.

Dãy số cách đều thì hiệu của mỗi số hạng với số liền trước luôn bằng nhau.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết tiếp 3 số: 5, 10, 15, …

Lời giải:

Vì:

10 – 5 = 5

15 – 10 = 5

Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 5 đơn vị.

Vậy 3 số tiếp theo là:

15 + 5 = 20

20 + 5 = 25

25 + 5 = 30

Dãy số mới là:

5, 10, 15, 20, 25, 30.

Ví dụ 2: Viết tiếp 4 số: 3, 7, 11, …

Lời giải:

Vì:

7 – 3 = 4

11 – 7 = 4

Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 4 đơn vị.

Vậy 4 số tiếp theo là:

11 + 4 = 15

15 + 4 = 19

19 + 4 = 23

23 + 4 = 27

Dãy số mới là:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27.

II.2/ Dạng 2: Dãy số khác

1. Phương pháp giải

Xác định quy luật của dãy số.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau:

a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, …

b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, …

c, 0, 3, 7, 12, …

d, 1, 2, 6, 24, …

Lời giải:

a, Ta nhận xét:

4 = 1 + 3

7 = 3 + 4

11 = 4 + 7

18 = 7 + 11 …

Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (Kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó.

Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,…

b, Tương tự bài a, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng trước nó.

Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau:

0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, …

c, Ta nhận xét:

Số hạng thứ hai là: 3 = 0 + 1 + 2

Số hạng thứ ba là: 7 = 3 + 1 + 3

Số hạng thứ tư là: 12 = 7 + 1 + 4 . . .

Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số thứ tự của số hạng ấy.

Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau:

0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, …

d, Ta nhận xét:

Số hạng thứ hai là 2 = 1 × 2

Số hạng thứ ba là 6 = 2 × 3

Số hạng thứ tư là 24 = 6 × 4

. . .

Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.

Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau:

1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …
Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau, biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng:

a, . . ., 17, 19, 21

b, . . . , 64, 81, 100
Lời giải:

a, Ta nhận xét:

Số hạng thứ mười là:

21 = 2 × 10 + 1

Số hạng thứ chín là:

19 = 2 × 9 + 1

Số hạng thứ tám là:

17 = 2 × 8 + 1 . . .

Từ đó suy ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số hạng của dãy bằng 2 nhân với thứ tự của số hạng trong dãy rồi cộng với 1.

Vậy số hạng đầu tiên của dãy là:

2 × 1 + 1 = 3

b, Tương tự như trên ta rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân số thứ tự của số hạng đó.

Vậy số hạng đầu tiên của dãy là:

1 × 1 = 1
II.3/ Dạng 3: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không

1. Phương pháp giải

Xác định quy luật của dãy số để xem số a có đúng với quy luật đó không.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Em hãy cho biết:

a, Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,... hay không?

b, Số 1996 thuộc dãy 3, 6, 8, 11,... hay không?
Lời giải:

a, Cả 2 số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho vì:

– Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 50;

– Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5.

b, Số 1996 không thuộc dãy đã cho.

Vì mọi số hạng của dãy khi chia cho đều dư 2 mà 1996 chia cho 3 thì dư 1.
Ví dụ 2: Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24,...? Giải thích tại sao?
Lời giải:

Cả 3 số 666, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. .., vì:

– Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666: 2 = 333 là số lẻ.

– Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3.

– Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) đều chẵn mà 9999 là số lẻ.

III. Bài tập vận dụng

1. Bài tập có lời giải

Bài 1: Cho dãy số 2;16;42;80;...;560;682;...

1. Hãy viết tiếp ba số hạng liền sau số 80

2. Tìm số hạng thứ 20 của dãy số

Lời giải:

Cách 1: Quy luật 1
1,Ta thấy quy luật là
Số thứ nhất 1*l+1=2 số thứ tự xI+số thứ tự
Số thứ hai 2*7+2=16 số thứ tự *số lớn hơn 6 đơn vị (1+6)+số thứ tự
Số thứ ba 3*13+23=42 số thứ tự* số lớn hơn 6 đơn vị (7+6)* số thứ tự
Số thứ tư 4*19+4=80 tương tự như trên
Vậy 3 số tiếp theo là 5*25+5=130
6*31+6=192
7*37+7= 266
2, Từ số thứ nhất đến số thứ 20 có hai mươi số suy ra có 19 khoảng cách mà mỗi khoảng cách là
6 đơn vị vậy số thứ 20 là:
20*(19*6+1)+20=2320

Cách 2: Quy luật 2

Số hạng thứ nhất : 2 = 2x1 + 10x0

thứ hai: 16=2x(1+2) + 10x1

thứ ba: 42= 2x(1+2+3) + 10x(1+2)

thứ tư : 80 = 2x(1+2+3+4) +10x(1+2+3)
Nếu gọi n là số hạng thứ n của dây số ta có công thức tổng quát của số hạng thứ n :
số Thứ n = 2xnx(n+1)/2 + 10xnx(n-l) = 6xnxn - 4xn = 2xn(3xn - 2)

Vậy 3 số hạng liền sau số 80 là:

Thứ 5: = 2x5x(3xð - 2) = 10x13 = 130
Thứ 6: = 2x6x(3x6 - 2) = 12x16 = 192
Thứ 7: = 2x7x(3x7 - 2) = 14x19 = 266

=> số hạng thứ 20: = 2x20x(3x20 - 2) = 40x 58 = 2320

2. Bài tập vận dụng

Bài 1: Viết tiếp hai số hạng của dãy số sau:

a, 100; 93; 85; 76;…

b, 10; 13; 18; 26;…

c, 0; 1; 2; 4; 7; 12;…

d, 0; 1; 4; 9; 18;…

e, 5; 6; 8; 10;…

f, 1; 6; 54; 648;…

g, 1; 3; 3; 9; 27;…

h, 1; 1; 3; 5; 17;…
Bài 2: Điền thêm 7 số hạng vào tổng sau sao cho mỗi số hạng trong tổng đều lớn hơn số hạng đứng trước nó: 49 +...... = 420. Giải thích cách tìm.
Bài 3: Tìm hai số hạng đầu của các dãy sau:

a,. . . , 39, 42, 45;

b,. . . , 4, 2, 0;

c,. . . , 23, 25, 27, 29;

Biết rằng mỗi dãy có 15 số hạng.

Bài 4: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……

Bài 5: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 

1, 3, 4, 8, 15, 27

Bài 6: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.

a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

b)…, …, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110

Bài 7: Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau :

a, 3, 9, 27, …, …, 729.

b, 3, 8, 23, …, …, 608.

Bài 8:  Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,……

a, Dãy số được viết theo quy luật nào?

b, Số 2009 có phải là số hạng của dãy không? Vì sao?

Bài 9: Em hãy cho biết:

a, Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay không?

b, Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không?

c, Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thích tại sao?

Bài 10:

Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2.

Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?

Bài 11: Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49.

Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không?

100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009?

Bài 12: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012.

Hỏi số 1004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?

Bài 13: S = 1,2 + 2,3 + 3,4 +...+ 28,29 + 29,30

Tính S

Bài 14: Mỗi chiếc xe được gắn một biển số gồm 4 chữ số. Hỏi từ số 0009 đến 9999 có bao nhiêu số mà tổng các chữ số chia hết cho 9

Bài 15: Tổng của một dãy số tự nhiên liên tiếp bằng 2012. Tìm số bé nhất trong dãy số đó.

Bài 16: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1;2;3;4...;n. Tìm n biết số chữ số của dãy số bằng 3n

Bài 17: Tính tổng tất cả các số có hai chữ số mà mỗi số đó chia cho 5 dư 2

Bài 18: Số chữ số dùng để đánh số trang của một quyển sách là một số chia hết cho số trang của cuốn sách đó. Biết rằng cuốn sách đó trên 100 trang và ít hơn 500 trang. Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang?

Bài 19: Tính trung bình cộng của các số lẻ nhỏ hơn 2012

Bài 20: Tính tổng các số lẻ nhỏ hơn 200