Giải bài tập Toán 10 Ước tính số cá thể trong một quần thể

Hoạt động 1 trang 93 Toán 10 Tập 2:

Ước tính số hạt lạc trong một hộp

Chuẩn bị:

- Cốc;

- Giấy, bút;

- Một túi lạc.

Tiến hành

Bước 1. Lấy ra một cốc lạc từ trong túi, đếm số lượng và đánh dấu từng hạt lạc.

Bước 2. Đổ lạc đã được đánh dấu vào lại trong túi và xáo trộn đều.

Bước 3. Lấy ra nửa cốc lạc, đếm tổng số hạt lạc và số hạt lạc có đánh dấu trong cốc.

Gọi N là tổng số hạt lạc trong túi ban đầu. Hãy dùng kết quả đếm được ở bước 3 để ước tính N.

Lời giải

Ta chuẩn bị đầy đủ dụng cụ ở trên và thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Lấy ra một cốc lạc từ trong túi, đếm số lượng và đánh dấu từng hạt lạc.

Ta đếm được 95 hạt lạc và đánh dấu chúng.

Bước 2. Đổ lạc đã được đánh dấu vào lại trong túi và xáo trộn đều.

Bước 3. Lấy ra nửa cốc lạc, đếm tổng số hạt lạc và số hạt lạc có đánh dấu trong cốc.

Ta đếm được có 48 hạt lạc, trong đó có 16 hạt lạc có đánh dấu.

Gọi N là tổng số hạt lạc trong túi lạc ban đầu.

Ta ước tính được N khoảng: $N\approx 95.\frac{48}{16}=285$ (hạt lạc).

Hoạt động 2 trang 94 Toán 10 Tập 2:

Đánh giá sai số của ước tính

Trong tiết thực hành trải nghiệm của lớp 10A, tổ của Hà đã thực hiện các bước trên, trong đó lặp lại bước 3 thêm hai lần: lần hai lấy 1 cốc lạc, lần ba lấy 1,5 cốc lạc và thu được kết quả như sau:

Giả sử số hạt lạc trong túi đựng là 1 000 (N = 1 000)  và số hạt lạc được đánh dấu là 100 (M = 100). Kí hiệu $\widehat{N}$ là số quy tròn đến hàng đơn vị của đại lượng $M.\frac{n}{k}$.

Dựa vào bảng số liệu trong Bảng 1, em hãy hoàn thành bảng tính theo mẫu sau:

Bảng 2. Tính sai số

Em có nhận xét gì về sai số của việc tính xấp xỉ số hạt lạc trong túi khi n càng lớn?

Lời giải

– Lần 1: Với n = 51, k = 4

Ta có: $M.\frac{n}{k}=100.\frac{51}{4}=1275$

Þ Số quy tròn $\widehat{N}=1275$ 

Sai số tuyệt đối là: ∆_N = $\left|\widehat{N}-N\right|=\left|1275-1000\right|=275$.

Sai số tương đối là: ${\delta }_N=\frac{{\Delta }_N}{\left|\widehat{N}\right|}=\frac{275}{1275}\approx \mathrm{21,57}\%$.

– Lần 2: Với n = 103, k = 11

Ta có: $M.\frac{n}{k}=100.\frac{103}{11}\approx \mathrm{936,36}$

Þ Số quy tròn $\widehat{N}=936$

Sai số tuyệt đối là: ∆_N = $\left|\widehat{N}-N\right|=\left|936-1000\right|=64$.

Sai số tương đối là: ${\delta }_N=\frac{{\Delta }_N}{\left|\widehat{N}\right|}=\frac{64}{936}\approx \mathrm{6,84}\%$.

– Lần 3: Với n = 155, k = 16

Ta có: $M.\frac{n}{k}=100.\frac{155}{16}=\mathrm{968,75}$

Þ Số quy tròn $\widehat{N}=969$

Sai số tuyệt đối là: ∆_N = $\left|\widehat{N}-N\right|=\left|969-1000\right|=31$.

Sai số tương đối là: ${\delta }_N=\frac{{\Delta }_N}{\left|\widehat{N}\right|}=\frac{31}{969}\approx \mathrm{3,2}\%$.

Vậy ta hoàn thành được bảng đã cho như sau:

Bảng 2. Tính sai số

Nhận xét: Quan sát bảnh trên ta thấy sai số thay đổi khi n thay đối. Khi n càng lớn thì sai số của việc tính xấp xỉ số hạt lạc trong túi càng nhỏ.