Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 6

A. Trắc nghiệm

Chọn phương án đúng.

Bài 6.24 trang 28 Toán 10 Tập 2: Tập xác định của hàm số y = $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ là:

A. D = [2; + ∞).

B. D = (2; + ∞).

C. D = ℝ \{2}.

D. D = ℝ.

Lời giải 

Đáp án đúng là: B.

Biểu thức $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ có nghĩa khi x – 2 > 0 ⇔ x > 2.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (2; + ∞).

 Bài 6.25 trang 28 Toán 10 Tập 2: Parabol y = – x² + 2x + 3 có đỉnh là

A. I(– 1; 0).

B. I(3; 0).

C. I(0; 3).

D. I(1; 4).

Lời giải

Đáp án đúng là: D.

Parabol y = – x² + 2x + 3 có các hệ số: a = – 1; b = 2, c = 3.

Ta có: $\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2.\left(-1\right)}=1$ và y(1) = – 1² + 2 . 1 + 3 = 4.

Vậy tọa độ đỉnh của parabol là I(1; 4).

Bài 6.26 trang 28 Toán 10 Tập 2: Hàm số y = x² – 5x + 4

A. Đồng biến trên khoảng (1; + ∞).

B. Đồng biến trên khoảng (– ∞; 4).

C. Nghịch biến trên khoảng (– ∞; 1).

D. Nghịch biến trên khoảng (1; 4).

Lời giải

Đáp án đúng là: C.

Hàm số y = x² – 5x + 4 có các hệ số a = 1 > 0, b = – 5, c = 4.

Ta có: $\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-5\right)}{2.1}=\frac{5}{2}$.

Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{5}{2}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$.

Mà (– ∞; 1) $\subset \left(-\infty ;\frac{5}{2}\right)$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; 1).

Bài 6.27 trang 28 Toán 10 Tập 2: Bất phương trình x² – 2mx + 4 > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ khi

A. m = – 1.

B. m = – 2.

C. m = 2.

D. m > 2.

Lời giải

Đáp án đúng là: A.

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 2mx + 4 có hệ số a = 1 > 0, ∆' = (– m)² – 1 . 4 = m² – 4.

Để f(x) > 0 (cùng dấu với hệ số a) với mọi x ∈ ℝ thì ∆' < 0 hay m² – 4 < 0.

⇔ m² < 4 ⇔ – 2 < m < 2.

Trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án m = – 1 là thỏa mãn – 2 < m < 2.  

Bài 6.28 trang 28 Toán 10 Tập 2: Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2-3}=x-1$ là

A. $\left\{-1-\sqrt{5};-1+\sqrt{5}\right\}$.

B. $\left\{-1-\sqrt{5}\right\}$.

C. $\left\{-1+\sqrt{5}\right\}$.

D. $\varnothing$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C.

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{2x^2-3}=x-1$ ta được:

2x² – 3 = x² – 2x + 1

⇔ x² + 2x – 4 = 0

⇔ x = $-1-\sqrt{5}$ hoặc $x=-1+\sqrt{5}$.

Lần lượt thay các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy x = $-1+\sqrt{5}$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = $\left\{-1+\sqrt{5}\right\}$.

B. Tự luận

Bài 6.29 trang 28 Toán 10 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}$;

b) $y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$.

Lời giải

a) Biểu thức $\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}$ có nghĩa khi $\left\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ 5-x\ge 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x\le 5\end{array}\right.$$\iff \frac{1}{2}\le x\le 5$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = $\left[\frac{1}{2};5\right]$.

b) Biểu thức $\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ có nghĩa khi x – 1 > 0 hay x > 1.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (1; + ∞).

Bài 6.30 trang 28 Toán 10 Tập 2: Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tìm tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:

a) y = – x² + 6x – 9;

b) y = – x² – 4x + 1;

c) y = x² + 4x;

d) y = 2x² + 2x + 1.

Lời giải

Các hàm số đã cho đều là hàm số bậc hai nên đồ thị là một parabol.

a) Đồ thị hàm số: y = – x² + 6x – 9.

Ta có hệ số a = – 1 < 0 nên bề lõm của đồ thị quay xuống dưới.

Parabol trên có:

- Tọa độ đỉnh I(3; 0);

- Trục đối xứng x = 3;

- Giao điểm với trục Oy là điểm (0; – 9), điểm này có điểm đối xứng qua trục đối xứng x = 3 là (6; – 9);

- Lấy các điểm (1; – 4), (5; – 4) thuộc đồ thị hàm số.

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số cần vẽ.

Từ đồ thị ta có:

+ Tập giá trị của hàm số là (– ∞; 0].

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 3) (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải) và nghịch biến trên khoảng (3; + ∞) (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải).

b) Đồ thị hàm số: y = – x² – 4x + 1.

Ta có: hệ số a = – 1 < 0 nên bề lõm của đồ thị quay xuống dưới.

Parabol trên có:

- Tọa độ đỉnh I(– 2; 5);

- Trục đối xứng x = – 2;

- Giao với trục Oy tại điểm (0; 1), điểm này có điểm đối xứng qua trục đối xứng x = – 2 là (– 4; 1);

- Giao với trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình – x² – 4x + 1 = 0, tức là x = $-2-\sqrt{5}$ và x = $-2+\sqrt{5}$.

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số cần vẽ.

Từ đồ thị hàm số ta có:

+ Tập giá trị của hàm số là (– ∞; 5].

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; – 2) và nghịch biến trên khoảng (– 2; + ∞).  

c) Đồ thị hàm số: y = x² + 4x.

Ta có: hệ số a = 1 > 0 nên bề lõm của đồ thị quay lên trên.

Parabol trên có:

- Tọa độ đỉnh I(– 2; – 4);

- Trục đối xứng x = – 2;

- Cắt trục Oy tại điểm gốc tọa độ O(0; 0);

- Điểm đối xứng với O qua trục đối xứng x = – 2 là điểm (– 4; 0);

- Lấy các điểm (– 1; – 3), (– 3; – 3) thuộc parabol.

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị cần vẽ.

Từ đồ thị hàm số ta có:

+ Tập giá trị của hàm số là [– 4; + ∞).

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 2) và đồng biến trên khoảng (– 2; + ∞).

d) Đồ thị hàm số: y = 2x² + 2x + 1.

Ta có: hệ số a = 2 > 0 nên bề lõm của đồ thị quay lên trên.

Parabol trên có:

- Tọa độ đỉnh I$\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$;

- Trục đối xứng x = $-\frac{1}{2}$;

- Giao với trục Oy tại điểm (0; 1), điểm này có điểm đối xứng qua trục đối xứng x = $-\frac{1}{2}$ là (– 1; 1);

- Lấy các điểm (1; 5) và (– 2; 5) thuộc đồ thị.

Vẽ đường cong đi qua các điểm đã cho ta được đồ thị cần vẽ.

Từ đồ thị hàm số ta có:

+ Tập giá trị của hàm số là $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$.

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

Bài 6.31 trang 28 Toán 10 Tập 2: Xác định parabol (P): y = ax² + bx + 3 trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua hai điểm A(1; 1) và B(– 1; 0);

b) (P) đi qua điểm M(1; 2) và nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng;

c) (P) có đỉnh là I(1; 4).

Lời giải

Điều kiện: a ≠ 0.

a) (P) đi qua điểm A(1; 1) nên thay tọa độ điểm A vào hàm số y = ax² + bx + 3 ta được:

1 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 2 ⇔  a = – 2 – b (1).

(P) đi qua điểm B(– 1; 0) nên thay tọa độ điểm B vào hàm số y = ax² + bx + 3 ta được:

0 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 3 ⇔ a – b = – 3 ⇔  a = – 3 + b (2).

Từ (1) và (2) suy ra: – 2 – b = – 3 + b ⇔ 2b = 1 ⇔ b = $\frac{1}{2}$.

Do đó, a = – 2 – $\frac{1}{2}$ = $-\frac{5}{2}$.

Vậy phương trình parabol (P): $y=-\frac{5}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+3$.

b) (P) đi qua điểm M(1; 2) nên thay tọa độ điểm M vào hàm số y = ax² + bx + 3 ta được:

2 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 1 ⇔  a = – 1 – b (3).

(P) nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng nên $\frac{-b}{2a}=1\iff 2a=-b\iff a=-\frac{1}{2}b$  (4).

Từ (3) và (4) suy ra: $-1-b=-\frac{1}{2}b\iff \frac{1}{2}b=-1\iff b=-2$.  

Do đó, a = – 1 – (– 2) = 1.

Vậy phương trình parabol (P): y = x² – 2x + 3.

c) (P) có đỉnh là I(1; 4) hay (P) đi qua điểm I(1; 4) nên thay tọa độ điểm I vào hàm số y = ax² + bx + 3 ta được:

4 = a . 1² + b . 1 + 3 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b    (5).

Vì I là đỉnh của (P) nên $\frac{-b}{2a}=1\iff 2a=-b\iff a=-\frac{1}{2}b$   (6).

Từ (5) và (6) suy ra: 1 – b = $-\frac{1}{2}b$$\iff \frac{1}{2}b=1\iff b=2$.

Do đó, a = 1 – b = 1 – 2 = – 1.

Vậy phương trình parabol (P): y = – x² + 2x + 3.

Bài 6.32 trang 28 Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) 2x² – 3x + 1 > 0;

b) x² + 5x + 4 < 0;

c) – 3x² + 12x – 12 ≥ 0;

d) 2x² + 2x + 1 < 0.

Lời giải

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 3x + 1 có ∆ = (– 3)² – 4 . 2 . 1 = 1 > 0  nên f(x) có hai nghiệm x₁ = $\frac{1}{2}$ và x₂ = 1.

Mà hệ số a = 2 > 0 nên ta có bảng xét dấu f(x):

Vậy bất phương trình 2x² – 3x + 1 > 0 có tập nghiệm là S = $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

b) Tam thức bậc hai f(x) = x² + 5x + 4 có ∆ = 5² – 4 . 1 . 4 = 9 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = – 4 và x₂ = – 1.

Mà hệ số a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu f(x):

Vậy bất phương x² + 5x + 4 < 0 có tập nghiệm là S = (– 4; – 1).

c) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 12x – 12 có ∆' = 6² – (– 3) . (– 12) = 0 nên f(x) có nghiệm kép x = 2.

Mà hệ số a = – 3 < 0 nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x ≠ 2.

Vậy bất phương trình – 3x² + 12x – 12 ≥ 0 có nghiệm duy nhất x = 2 hay tập nghiệm của bất phương trình là S = {2}.

d) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² + 2x + 1 có ∆' = 1² – 2 . 1 = – 1 < 0, hệ số a = 2 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là 2x² + 2x + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình 2x² + 2x + 1 < 0 vô nghiệm.  

Bài 6.33 trang 29 Toán 10 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2-14}=x-1$;

b) $\sqrt{-x^2-5x+2}=\sqrt{x^2-2x-3}$.

Lời giải

a) $\sqrt{2x^2-14}=x-1$

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được

2x² – 14 = x² – 2x + 1

⇔ x² + 2x – 15 = 0

⇔ x = – 5 hoặc x = 3.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3.

b) $\sqrt{-x^2-5x+2}=\sqrt{x^2-2x-3}$

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

– x² – 5x + 2 = x² – 2x – 3

⇔ 2x² + 3x – 5 = 0

⇔ x = $-\frac{5}{2}$ hoặc x = 1.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = $-\frac{5}{2}$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = $-\frac{5}{2}$.

Bài 6.34 trang 29 Toán 10 Tập 2: Một công ty bắt đầu sản xuất và bán một loại máy tính xách tay từ năm 2018. Số lượng loại máy tính đó bán được trong hai năm liên tiếp 2018 và 2019 lần lượt là 3,2 nghìn và 4 nghìn chiếc. Theo nghiên cứu dự báo thị trường của công ty, trong khoảng 10 năm kể từ năm 2018, số lượng máy tính loại đó bán được mỗi năm có thể được mô tả bởi một hàm số bậc hai.

Giả sử t là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018. Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm (0; 3,2) và (1; 4). Giả sử điểm (0; 3,2) là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này.

a) Lập công thức của hàm số mô tả số lượng máy tính xách tay bán được qua từng năm.

b) Tính số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm 2024.

c) Đến năm bao nhiêu thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc?

Lời giải

a) Giả sử y = at² + bt + c, với a, b, c là các số thực, a ≠ 0 là hàm số mô tả số lượng máy tính xách tay bán được.

Trong đó, t là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018 nên t > 0 và ta quy ước tại năm 2018 thì t = 0, năm 2019 thì t = 1, tương tự cho các năm sau và y là số lượng máy tính bán ra qua từng năm.

Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm (0; 3,2) và (1; 4).

Do đó đồ thị hàm số y = at² + bt + c đi qua các điểm (0; 3,2) và (1; 4) nên ta có:

3,2 = a . 0² + b . 0 + c ⇔ c = 3,2

Và 4 = a . 1² + b . 1 + c ⇔ a + b + 3,2 = 4 ⇔ a + b = 0,8 ⇔ a = 0,8 – b.

Lại có đồ thị hàm số trên có đỉnh là (0; 3,2) nên $-\frac{b}{2a}=0\Rightarrow b=0$ (do a ≠ 0).

Do đó, a = 0,8 – 0 = 0,8.

Vậy hàm số cần tìm là: y = 0,8t² + 3,2.

b) Đến năm 2024 thì loại máy tính trên đã bán ra được số năm là: 2024 – 2018 = 6 (năm) nên năm 2024 tương ứng với t = 6.

Tại t = 6 thì y = 0,8 . 6² + 3,2 = 32.

Vậy số lượng máy tính xách tay bán ra được trong năm 2024 là 32 nghìn chiếc.

c) Số lượng máy tính xách tay bán ra được trong năm vượt mức 52 nghìn chiếc tức là y > 52 hay 0,8t² + 3,2 > 52 ⇔ t² > 61 ⇔ t < $-\sqrt{61}$ hoặc t >$\sqrt{61}$.

Do t > 0 nên t > $\sqrt{61}$ ≈ 7,81.

Mà t là số nguyên nên ta chọn t nhỏ nhất thỏa mãn là t = 8.

Nên từ năm thứ 8 kể từ khi bắt đầu bán thì số lượng máy tính bán ra được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc và đó chính là năm 2018 + 8 = 2026.

Vậy từ năm 2026 trở đi thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc.