Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 3

A. Trắc nghiệm

Bài 3.12 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}={135}^o$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. $S=\frac{1}{2}ca.$          

B. $S=\frac{-\sqrt{2}}{4}ac.$ 

C. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}bc.$

D. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}ca.$

b)

A. $R=\frac{a}{\sin A}.$

B. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}b.$

C. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}c.$

D. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a.$

c)

A. $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$.

B. $\frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}.$

C. $\sin B=\frac{-\sqrt{2}}{2}.$

D. b² = c² + a² – 2ca.cos135^o.

Lời giải:

Tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c; $\widehat{B}={135}^o$.

a) Diện tích tam giác ABC:

$S=\frac{1}{2}ac.\sin B=\frac{1}{2}ac.\sin {135}^o=\frac{\sqrt{2}}{4}ac$.

Chọn D.

b) Theo định lí sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

A. $R=\frac{a}{\sin A}$ sai vì $R=\frac{a}{2\sin A}$

B. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}b$

Mà $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{b}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}b$.

Do đó B đúng.

C. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}c$ (loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c).

D. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ (loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a).

Chọn B.

c)

A. $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$.

Vì theo định lí côsin, ta có: a² = b² + c² − 2bc . cosA

Không đủ dữ kiện để suy ra: $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$.

Do đó A sai.

B. $\frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}$.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

Nên $\frac{b}{\sin A}\ne \frac{a}{\sin B}$.

Do đó B sai.

C. $\sin B=\frac{-\sqrt{2}}{2}$.

Vì theo câu a, $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Do đó C sai.

D. b² = c² + a² – 2ca . cos135^o. đúng.

Theo định lý côsin ta có:

b² = c² + a² − 2ca . cosB (*)

Mà $\widehat{B}=135°$$\Rightarrow$cosB = cos 135^o.

Thay vào (*) ta được: b² = c² + a² − 2ca . cos 135^o.

Do đó D đúng.

Chọn D.

Bài 3.13 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. $S=\frac{abc}{4r}.$

B. $r=\frac{2S}{a+b+c}.$

C. a² = b² + c² + 2bc . cos A.

D. S = r(a + b + c).

b)

A. sin A = sin(B + C).

B. cos A = cos(B + C).

C. cos A > 0.

D. sin A ≤ 0.

Lời giải:

a)

A. $S=\frac{abc}{4r}.$

Ta có $S=\frac{abc}{4R}$. Mà r < R nên $S=\frac{abc}{4R}<\frac{abc}{4r}$.

Do đó A sai.

B. $r=\frac{2S}{a+b+c}.$

Ta có: S = pr $\Rightarrow$ $r=\frac{S}{p}$.

Mà $p=\frac{a+b+c}{2}$

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{S}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2S}{a+b+c}$.

Do đó B đúng.

C. a² = b² + c² + 2bc . cos A.

Sai vì theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² − 2bc . cos A.

D. S = r(a + b + c).

Sai vì $S=pr=r.\frac{a+b+c}{2}$.

Chọn B.

b)

A. sinA = sin(B + C).

Ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={180}^o-\widehat{A}$

$\Rightarrow$ sin(B + C) = sin(180° – $\widehat{A}$) = sin A.

Do đó, đáp án A đúng.

B. cos A = cos(B + C).

Sai vì cos (B + C) = cos(180° – $\widehat{A}$)  = – cosA (do $\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o-\widehat{A}$).

C. cos A > 0.

∙ Nếu 0^o < $\widehat{A}$ < 90^o thì cos A > 0.

∙ Nếu 90^o < $\widehat{A}$ < 180^o thì cos A < 0.

Do đó C không đủ dữ kiện để kết luận.

D. sin A ≤ 0.

Ta có: $S=\frac{1}{2}bc.\sin A>0$

Mà b, c > 0 nên sin A > 0.

Do đó D sai.

Chọn D.

B. Tự luận

Bài 3.14 trang 44 Toán 10 Tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) M = sin45^o. cos45^o + sin30^o;

b) $\text{}N=\sin {60}^o.cos{30}^o+\frac{1}{2}\sin {45}^o.cos{45}^o$;

c) P = 1 + tan² 60^o;

d) $Q=\frac{1}{{\sin }^2{120}^o}-{\cot }^2{120}^o.$

Lời giải:

a) M = sin45^o. cos45^o + sin30^o

Ta có: sin 45^o = cos 45^o = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; sin 30^o = $\frac{1}{2}$.

Thay vào M, ta được:

M $=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

b) $\text{}N=\sin {60}^o.cos{30}^o+\frac{1}{2}\sin {45}^o.cos{45}^o$

Ta có: $\sin {60}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\sin 45°=cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Thay vào N, ta được:

N = $\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$.

c) P = 1 + tan²60^o

Ta có: $\tan {60}^o=\sqrt{3}$.

Thay vào P, ta được: P$=1+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=1+3=4$.

d) $Q=\frac{1}{{\sin }^2{120}^o}-{\cot }^2{120}^o.$

Ta có: $\sin {120}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cot {120}^o=\frac{-1}{\sqrt{3}}$

Thay vào Q, ta được:

 Q $=\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}-{\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)}^2$

$=\frac{1}{\frac{3}{4}}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1$

Bài 3.15 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có  $\widehat{B}={60}^o,\widehat{C}={45}^o,$ AC = 10. Tính a, R, S, r.

Lời giải:

Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Ta có:

+ $R=\frac{b}{2\sin B}$.

Mà b = AC = 10, $\widehat{B}={60}^o$.

Nên $R=\frac{10}{2\sin {60}^o}=\frac{10}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$.

+ $R=\frac{a}{2\sin A}$ $\Rightarrow$ a = 2R. sin A.

Mà $R=\frac{10\sqrt{3}}{3}$,  $\widehat{A}={180}^o-\widehat{B}-\widehat{C}$ = 180^o – 60^o – 45^o = 75^o.

Nên a = 2.$\frac{10\sqrt{3}}{3}$. sin 75^o ≈ 11,15.

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}.11,15.10.\sin {45}^o\approx 39,42$ (đvdt)

Khi đó:

+ $R=\frac{c}{2\sin C}$$\Rightarrow c=\frac{10\sqrt{3}}{3}.2.\sin {45}^o=\frac{10\sqrt{6}}{3}\approx 8,16$.

+ $p=\frac{a+b+c}{2}\approx \frac{5,58+10+8,165}{2}\approx 14,66$.

+ $r=\frac{S}{p}\approx \frac{48,3}{14,66}\approx 2,69$.

Vậy a ≈ 11,15; $R=\frac{10\sqrt{3}}{3}$, c ≈ 8,16, r ≈ 2,69.

Bài 3.16 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0;$

b) MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ và MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$;

c) $M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Lời giải:

a) Ta có: $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}={180}^o$

$\Rightarrow$ $\widehat{AMC}={180}^o-\widehat{AMB}$

$\Rightarrow$ $cos\widehat{AMB}=-cos\left({180}^o-\widehat{AMB}\right)=-cos\widehat{AMC}$

$\Rightarrow$ $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=-cos\widehat{AMC}+cos\widehat{AMC}=0$

Vậy $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0$ (đpcm)

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ 

$\iff$ MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ (1)

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

$\iff$ MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

c) Từ (1) suy ra: MA² = AB² – MB² + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$

Từ (2) suy ra: MA² = AC² – MC² + 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

Cộng vế với vế, ta được:

2MA² = (AB² – MB² + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$) + (AC² – MC² + 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$)

$\iff$2MA² = AB² + AC² – MB² – MC² + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ + 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

Mà $MB=MC=\frac{BC}{2}$(do AM là trung tuyến) nên:

2MA² = AB² + AC² – ${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$ – ${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$ + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ + 2MA.MB.cos$\widehat{AMC}$

$\iff$2MA² = AB² + AC² – $2.{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$ + 2MA.MB.(cos$\widehat{AMB}$ + cos$\widehat{AMC}$)

$\iff$2MA² = AB² + AC² – $\frac{B{C}^2}{2}$

$\iff$ $M{A}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2-\frac{B{C}^2}{2}}{2}$

$\iff M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Bài 3.17 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b² + c² > a²;

b) Nếu góc A tù thì b² + c² < a²;

c) Nếu góc A vuông thì b² + c² = a².

Lời giải:

Theo định lí côsin, ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

$\Rightarrow$ b² + c² – a² = 2bc.cosA.

a) Nếu góc A nhọn thì cosA > 0 $\Rightarrow$ 2bccosA > 0

Do đó: b² + c² – a² = 2bc.cosA > 0.

Vậy b² + c² > a² (đpcm).

b) Nếu góc A tù thì cosA < 0 $\Rightarrow$ 2bccosA < 0

Do đó: b² + c² – a² = 2bc.cosA < 0.

Vậy b² + c² < a² (đpcm).

c) Nếu góc A vuông thì cosA = 0 $\Rightarrow$ 2bccosA = 0

Do đó: b² + c² – a² = 2bc.cosA = 0.

Vậy b² + c² = a² (đpcm).

Bài 3.18 trang 45 Toán 10 Tập 1: Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53 km về hướng N34^oE. Sau đó, tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30 km/h về hướng đông và tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50 km/h để gặp tàu B.

a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào?

b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu A gặp tàu B?

Lời giải:

a) Gọi t (giờ) là thời gian đi cho đến khi hai tàu gặp nhau tại C.

Tàu B đi với vận tốc có độ lớn 30 km/h nên quãng đường BC = 30t.

Tàu A đi với vận tốc có độ lớn 50 km/h nên quãng đường AC = 50t.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \widehat{ABC}}$.

Trong đó: a = BC = 30t, b = AC = 50t, $\widehat{B}={124}^o$, $\alpha =\widehat{BAC}$.

Khi đó, $\frac{30t}{\sin \alpha }=\frac{50t}{\sin {124}^o}$

$\iff \sin \alpha =\frac{30t.\sin {124}^o}{50t}=\frac{3\sin {124}^o}{5}\approx 0,497$

$\iff$α ≈ 30^o hoặc α ≈ 150^o (loại).

Do đó AC hợp với hướng bắc một góc 34^o + 30^o  = 64^o.
Vậy tàu A chuyển động theo hướng N64^oE.
b) Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat{A}={30}^o;\widehat{ABC}={124}^o$.

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^o-({30}^o+{124}^o)={26}^o$.

Theo định lí sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$$\Rightarrow a=\frac{c.\sin A}{\sin C}$

Mà a = BC = 30t, c = AB = 53, $\widehat{A}=30°;\widehat{C}=26°$.

Khi đó, $30t=\frac{53.\sin {30}^o}{\sin {26}^o}$

$\iff$ 30t ≈ 60

$\iff$t ≈ 2 (h)

Vậy sau 2 giờ thì tàu A gặp tàu B.

Bài 3.19 trang 45 Toán 10 Tập 1: Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2(Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2 và cách gôn Nhà 18,44m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.

Lời giải:

Kí hiệu gôn Nhà, gôn 1, gôn 2, gôn 3 và vị trí ném bóng lần lượt là các điểm A, B, C, D, O như hình vẽ.

Khi đó, tứ giác ABCD là hình vuông với đường chéo CA là tia phân giác của góc BCD. Hay $\widehat{OCD}=\widehat{ACD}=45°$.

Ta có: CD = 27,4 $\Rightarrow$AC = CD . $\sqrt{2}$ = 27,4 . $\sqrt{2}$ ≈ 38,75.

$\Rightarrow$ OC = AC – OA ≈ 38,75 − 18,44 = 20,31.

Xét tam giác OCD, áp dụng định lí côsin ta có:

OD² = CD² + CO² – 2.CD.CO. cos$\widehat{ACD}$.

Trong đó CD = 27,4; CO = 20,31; $\widehat{ACD}=45°$ 

Khi đó: OD² = 27,4² + 20,31² – 2.27.20,31. cos 45^o

$\iff$OD² ≈ 376,255

$\iff$OD ≈ 19,4 (m)

Xét ΔCOB và ΔCOD, có:

BC = CD (ABCD là hình vuông)

$\widehat{BCO}=\widehat{DCO}=45°$  (CA là tia phân giác của góc BCD)

Cạnh CO chung

Do đó ΔCOB = ΔCOD (c.g.c)

Suy ra OB = OD ≈ 19,4 (m) (hai cạnh tương ứng).

Vậy khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3 khoảng 19,4 m.