Giải bài tập Toán 10 Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Tình huống mở đầu trang 77 Toán 10 Tập 2: Khi tham gia một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, mỗi người chơi chọn một bộ 6 số đôi một khác nhau từ 45 số: 1; 2; …45, chẳng hạn bạn An chọn bộ số {5; 13; 20; 31; 32; 35}.

Sau đó, người quản trò bốc ngẫu nhiên 6 quả bóng (không hoàn lại) từ một thùng kín đựng 45 quả bóng như nhau ghi các số 1; 2; …; 45.

Bộ 6 số ghi trên 6 quả bóng đó được gọi là bộ số trúng thưởng.

Nếu bộ số của người chơi trùng với bộ số trúng thưởng thì người chơi trúng giải độc đắc; nếu trùng với 5 số của bộ số trúng thưởng thì người chơi trúng giải nhất.

Tính xác suất bạn An trúng giải độc đắc, giải nhất khi chơi.

Lời giải

Sau khi học xong bài 26 ta sẽ giải tình huống mở đầu như sau:

Phép thử ở tình huống trên là chọn ngẫu nhiên 6 số trong 45 số: 1; 2; 3; …; 45.

Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các tập con có sáu phần tử của tập hợp {1; 2; …; 45}.

Khi đó số phần tử của Ω là n(Ω) = $C_{45}^6$ = 8 145 060.

Gọi F là biến cố: “ Bạn An trúng giải độc đắc”, khi đó bạn An chọn được bộ số {5; 13; 20; 31; 32; 35}.

Chỉ có một kết quả thuận lợi cho biến cố F là: {5; 13; 20; 31; 32; 35}.

⇒ n(F) = 1.

⇒$P\left(F\right)=\frac{n\left(F\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{8145060}$.

Vậy xác suất để bạn An trúng giải độc đắc là $\frac{1}{8\text{ 145 060}}$.

Gọi G là biến cố: “ Bạn An trúng giải nhất”, khi đó bạn An chọn bộ sáu số trong đó có năm số thuộc tập hợp {5; 13; 20; 31; 32; 35}, còn một số còn lại không thuộc tập hợp {5; 13; 20; 31; 32; 35}.

Khi đó G là tập hợp tất cả các tập con gồm sáu phần tử của tập hợp {1; 2; …; 45}, trong đó năm phần tử của nó thuộc tập hợp {5; 13; 20; 31; 32; 35}, còn một phần tử còn lại không thuộc tập hợp {5; 13; 20; 31; 32; 35}.

Mỗi phần tử của tập G được hình thành qua hai công đoạn:

+ Công đoạn 1: Chọn năm phần tử trong tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}, có  $C_6^5$ = 6 (cách chọn).

+ Công đoạn 2: Chọn một phần tử còn lại trong 39 phần tử không thuộc tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}, có  $C_{39}^1$ = 39 (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, tập G có 6.39 = 234 (phần tử).

⇒ n(G) = 234.

⇒$P\left(G\right)=\frac{n\left(G\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{234}{8145060}=\frac{39}{\text{1 357 510}}$.

Vậy xác suất để bạn An trúng giải nhất là $\frac{39}{\text{1 357 510}}$.

Hoạt động 1 trang 78 Toán 10 Tập 2: Trở lại Ví dụ 1, xét hai biến cố sau:

A: “Học sinh được chọn là một bạn nữ”;

B: “Học sinh được chọn có tên bắt đầu bằng chữ H”.

Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố A, B.

Lời giải

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Học sinh được gọi là một bạn nữ” là: {Hương, Hồng, Dung}.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B: “Học sinh được gọi có tên bắt đầu bằng chữ H” là: {Hương, Hồng, Hoàng}.

Luyện tập 1 trang 79 Toán 10 Tập 2: Phần thưởng trong một chương trình khuyến mãi của một siêu thị là: ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa. Ông Dũng tham gia chương trình được chọn ngẫu nhiên một mặt hàng.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi D là biến cố: “Ông Dũng chọn được mặt hàng là đồ điện”. Hỏi D là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải

a) Phép thử ở đây là chọn ngẫu nhiên một mặt hàng trong các mặt hàng: ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa.

Do đó không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các phần thưởng trong chương trình khuyến mãi của siêu thị.

Vậy Ω = { ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa}.

b) Với D là biến cố: “ông Dũng chọn được mặt hàng là đồ điện” thì D là tập hợp gồm các phần tử sau: {ti vi, tủ lạnh, máy tính, bếp từ}.

Vậy D = {ti vi, tủ lạnh, máy tính, bếp từ}. 

Hoạt động 2 trang 79 Toán 10 Tập 2: Trở lại Ví dụ 1, hãy cho biết, khi nào biến cố C: “Học sinh được chọn là một bạn nam” xảy ra?

Lời giải

Biến cố C: “Học sinh được chọn là một bạn nam” xảy ra khi bạn được chọn là nam, tức là biến cố A: “Học sinh được chọn là một bạn nữ” không xảy ra.

Vậy biến cố C xảy ra khi biến cố A không xảy ra.

Luyện tập 2 trang 79 Toán 10 Tập 2: Gieo một con xúc xắc. Gọi K là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố”.

a) Biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số” có là biến cố $\overline{K}$ không?

b) Biến cố K và $\overline{K}$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải

Khi gieo một con xúc xắc thì số chấm xuất hiện có thể là một trong các mặt 1; 2; 3; 4; 5; 6 chấm.

Do đó Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

a) Biến cố “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số” không là biến cố $\overline{K}$, vì nếu K không xảy ra, tức là số chấm không là số nguyên tố, thì số chấm của xúc xắc có thể là số 1 hoặc hợp số. (số 1 không phải là số nguyên tố, không phải là hợp số).

Do đó $\overline{K}$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 1 hoặc là một hợp số”.

Vậy biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số” không là $\overline{K}$.

b) K là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố” tức là số chấm phải là {2; 3; 5}. Do đó K = {2; 3; 5}⊂ Ω.

Biến cố $\overline{K}$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 1 hoặc là một hợp số”, tức là số chấm phải là {1; 4; 6}. Do đó: $\overline{K}=\text{{}1;4;6\}$ ⊂ Ω.

Vậy K = {2; 3; 5} và $\overline{K}=\text{{}1;4;6\}$.

Hoạt động 3 trang 80 Toán 10 Tập 2: Một hộp chứa 12 tấm thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12. Rút ngẫu nhiên từ hộp đó một tấm thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu Ω. Các kết quả có thể có đồng khả năng không?

b) Xét biến cố E: “Rút được thẻ ghi số nguyên tố”. Biến cố E là tập con nào của không gian mẫu?

c) Phép thử có bao nhiêu kết quả có thể? Biến cố E có bao nhiêu kết quả thuận lợi? Từ đó, hãy tính xác suất của biến cố E.

Lời giải

a) Rút ngẫu nhiên từ hộp đó một tấm thẻ thì có thể rút được một trong 12 tấm thẻ.

Do đó, không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}.

Vì trong hộp chỉ có 12 tấm thẻ được đánh số khác nhau nên khi rút ngẫu nhiên từ hộp đó một tấm thẻ thì các kết quả có thể xảy ra có khả năng như nhau.

Vậy các kết quả có thể có đồng khả năng.

b) Biến cố E: “Rút được thẻ ghi số nguyên tố”, tức là rút được thẻ ghi các số {2; 3; 5; 7; 11}. Do đó E = {2; 3; 5; 7; 11}⊂ Ω .

Vậy E = {2; 3; 5; 7; 11}.

c) Vì Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} nên phép thử có 12 kết quả có thể.

Biến cố E = {2; 3; 5; 7; 11} có 5 kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố E là: $\frac{5}{12}$.

Câu hỏi trang 80 Toán 10 Tập 2: Từ định nghĩa cổ điển của xác suất, hãy chứng minh các nhận xét trên.

Lời giải

Nhận xét 1: Với mỗi biến cố E, ta có 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Vì E ⊂ Ω nên n(E) ≤ n(Ω), suy ra  $P\left(E\right)=\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}\le \frac{n\left(\Omega \right)}{n\left(\Omega \right)}$= 1.

Do n(E) ≥ 0 và n(Ω) > 0 nên $P\left(E\right)=\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}$ ≥ 0.

Vậy 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Nhận xét 2: Với biến cố chắc chắn (là tập Ω), ta có: P(Ω) = 1.

Biến cố chắc chắn Ω thì $P\left(\Omega \right)=\frac{n\left(\Omega \right)}{n\left(\Omega \right)}=1$ 

Vậy P(Ω)=1

Nhận xét 3: Với biến cố không thể (là tập ∅), ta có P(∅) = 0.

Biến cố không thể xảy ra là tập ∅ thì n(∅) = 0, khi đó $P(\varnothing )=\frac{n\left(\varnothing \right)}{n\left(\Omega \right)}=0$

Vậy P(∅) = 0.

Luyện tập 3 trang 81 Toán 10 Tập 2: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4 hoặc bằng 6.

Lời giải

Vì khi gieo mỗi con xúc xắc có thể xuất hiện 1 trong 6, mặt nên ta có bảng mô tả không gian mẫu Ω như sau:

Mỗi ô trong bảng là một kết quả có thể. Có 36 ô, do đó n(Ω)= 36.

Biến cố E: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4 hoặc bằng 6”.

Để tổng số chấm bằng 4 thì có các kết quả có thể sau: (1, 3), (3, 1), (2, 2).

Để tổng số chấm bằng 6 thì có các kết quả: (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3).

Suy ra biến cố E = {(1, 3), (3, 1), (2, 2), (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)}.

⇒ Biến cố E có 8 phần tử, tức là n(E) = 8.

Do đó $P\left(E\right)=\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$.

Vậy $P\left(E\right)=\frac{2}{9}$.

Vận dụng trang 82 Toán 10 Tập 2:  Xác suất của biến cố có ý nghĩa thực tế như sau:

Giả sử biến cố A có xác suất P(A). Khi thực hiện phép thử n lần (n ≥30) thì số lần xuất hiện biến cố A sẽ xấp xỉ bằng n.P(A) (nói chung khi n càng lớn thì sai số tương đối càng bé).

Giả thiết rằng xác suất sinh con trai là 0,512 và xác suất sinh con gái là 0,488 . Vận dụng ý nghĩa thực tế của xác suất, hãy ước tính trong số trẻ mới sinh với 10 000 bé gái thì có bao nhiêu bé trai.

Hướng dẫn. Gọi n là số trẻ mới sinh. Ta coi mỗi lần sinh là một phép thử và biến cố liên quan đến phép thử là biến cố: “Sinh con gái”. Như vậy ta có n phép thử. Ước tính n, từ đó ước tính số bé trai.

Lời giải

Gọi n là số trẻ mới sinh và biến cố A: “Sinh con gái”. 

Với n phép thử, số lần xuất hiện biến cố A theo đề bài là 10 000 bé gái, P(A) = 0,488.

Khi đó n.P(A) ≈ 10 000

⇒ n ≈ 10 000: 0,488 ≈ 20 492.

Gọi biến cố B: “Sinh con trai”

Với n ≈ 20 492, số lần xuất hiện biến cố B là: n.P(B) = 20 492. 0,512 ≈ 10 492.

Vậy ước tính trong 20 492 trẻ mới sinh với 10 000 bé gái thì có khoảng 10 492 bé trai.

Bài 9.1 trang 82 Toán 10 Tập 2:  Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 30.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi A là biến cố: “Số được chọn là số nguyên tố”. Các biến cố A và $\overline{A}$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải

a) Các số nguyên dương không lớn hơn 30 là các số: 1; 2; 3; …; 29; 30.

 Vậy không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23 ;24; 25; 26 ; 27; 28; 29; 30}.

b) A là biến cố: “Số được chọn là số nguyên tố”, tức là chọn được các số {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29}.

Vậy A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29}.

Khi biến cố A không xảy ra, tức là số được chọn không phải là số nguyên tố, khi đó số chọn được có thể là số 1 hoặc là hợp số.

Suy ra biến cố $\overline{A}$ : “Số được chọn là số 1 hoặc là hợp số”,

Vậy $\overline{A}$ = {1; 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 27; 28; 30}.

Bài 9.2 trang 82 Toán 10 Tập 2:  Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 22 .

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi B là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 3”. Các biến cố B và $\overline{B}$ là các tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải

a) Các số nguyên dương không lớn hơn 22 là các số: 1; 2; 3; …; 21; 22.

Vậy không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22}.

b) Các số chia hết cho 3 trong không gian mẫu là: 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21.

Do đó B = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21}.

Nếu biến cố B “Số được chọn chia hết cho 3” không xảy ra thì các số được chọn không chia hết cho 3.

Khi đó $\overline{B}$: “Số được chọn không chia hết cho 3”.

Ta có các số không chia hết cho 3 là : 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 20; 22.

⇒ $\overline{B}$ = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 20; 22}.

Vậy B = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21} và $\overline{B}$ = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 20; 22}.

Bài 9.3 trang 82 Toán 10 Tập 2: Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xét các biến cố sau:

C: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”;

D: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”.

Các biến cố C, $\overline{C}$, D và $\overline{D}$là các tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải

a)  Kí hiệu S là mặt sấp, N là mặt ngửa. Không gian mẫu được cho theo bảng:

Mỗi ô là một kết quả có thể. Có 12 ô, vậy n(Ω) = 12.

b) Biến cố C: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”, tức là xảy ra các kết quả có thể: (S;1); (S;2); (S;3); (S;4); (S;5); (S;6).

Vậy C = {(S;1); (S;2); (S;3); (S;4); (S;5); (S;6)}.

Khi C: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”, không xảy ra thì $\overline{C}$: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” xảy ra.

Khi đó $\overline{C}$= {(N;1); (N;2); (N;3); (N;4); (N;5); (N;6)}.

Biến cố D: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5” thì có các trường hợp xảy ra là: (N;1); (N;2); (N;3); (N;4); (N;5); (N;6); (S;5).

Do đó D = {(N;1); (N;2); (N;3); (N;4); (N;5); (N;6); (S;5)}.

Ta có $\overline{D}$ = C_ΩD = {(S;1); (S;2); (S;3); (S;4); (S;6)}.

Vậy C = {(S;1); (S;2); (S;3); (S;4); (S;5); (S;6)};

$\overline{C}$= {(N;1); (N;2); (N;3); (N;4); (N;5); (N;6)};

D = {(N;1); (N;2); (N;3); (N;4); (N;5); (N;6); (S;5)};

$\overline{D}$= {(S;1); (S;2); (S;3); (S;4); (S;6)}.

Bài 9.4 trang 82 Toán 10 Tập 2:  Một túi có chứa một số bi xanh, bi đỏ, bi đen và bi trắng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong túi.

a) Gọi H là biến cố: “Bi lấy ra có màu đỏ”. Biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng” có phải là biến cố $\overline{H}$ hay không?

b) Gọi K là biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu trắng”. Biến cố: “Bi lấy ra màu đen” có phải là biến cố $\overline{K}$ hay không?

Lời giải

a) Xét biến cố H: “Bi lấy ra có màu đỏ”.

Trong phép lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong túi có chứa một số bi màu xanh, bi đỏ, bi đen và bi trắng:

Nếu không lấy ra bi màu đỏ thì chỉ có thể là màu xanh hoặc đen, hoặc trắng nên biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng” là biến cố $\overline{H}$.

Vậy biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng” là $\overline{H}$.

b) Xét biến cố K: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu trắng”.

Nếu không lấy ra màu xanh hoặc màu trắng thì có thể là màu đen hoặc màu đỏ.

Do đó, biến cố: “Bi lấy ra màu đen” không là biến cố $\overline{K}$.

Vậy, biến cố: “Bi lấy ra màu đen” không là biến cố $\overline{K}$.

Bài 9.5 trang 82 Toán 10 Tập 2:  Hai bạn An và Bình mỗi người gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để:

a) Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 3 ;

b) Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng 5 ;

c) Tích hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 6;

d) Tổng hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố. 

Lời giải

Do gieo một con xúc xắc thì số chấm xuất hiện có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6 nên khi gieo 2 con xúc xắc thì các kết quả của không gian mẫu được cho trong bảng:

Từ bảng trên, mỗi ô tương ứng với một kết quả có thể. Có 36 ô, vậy n(Ω) = 36.

a) Gọi biến cố A: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 3”.

Các kết quả thuận lợi của A là: (1;1), (1;2), (2;1), (2;2).

⇒ A = {(1;1), (1;2), (2;1), (2;2)}.

⇒ n(A) = 4. Khi đó $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.

Vậy xác suất để “số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 3” là $\frac{1}{9}$.

b) Gọi biến cố B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng 5”.

Các kết quả thuận lợi của B là:

(5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6).

⇒ B = {(5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6)}.

⇒ n(B) = 12. Khi đó $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$

Vậy xác suất để “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng 5” là $\frac{1}{3}$.

c) Gọi biến cố C: “Tích hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 6”.

Các kết quả thuận lợi của C là: (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (4; 1), (5; 1).

⇒ C = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (4; 1), (5; 1)}.

⇒ n(C) = 10. Khi đó $P\left(C\right)=\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$.

Vậy xác suất để “Tích hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 6” là $\frac{5}{18}$.

d) Gọi biến cố D: “Tổng hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố”.

Các kết quả thuận lợi của D là: (1; 1), (1; 2), (2; 1), (1; 4), (4; 1), (1; 6), (6; 1), (2; 3); (3; 2), (2; 5), (5; 2), (3; 4), (4; 3), (5; 6), (6; 5).

⇒ D = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (1; 4), (4; 1), (1; 6), (6; 1), (2; 3); (3; 2), (2; 5), (5; 2), (3; 4), (4; 3), (5; 6), (6; 5)}.

⇒ n(D) = 15. Khi đó $P\left(D\right)=\frac{n\left(D\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$.

Vậy xác suất để “Tổng hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố” là $\frac{5}{12}$.