Giải bài tập Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Bài giảng Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Mở đầu

Mở đầu trang 33 Toán 10 Tập 1: Bạn đã biết tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn. Đối với góc tù thì sao?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ trả lời được:

Với góc α cho trước, 0^o < α < 180^o.

Trên nửa đường tròn đơn vị, vẽ điểm M(x₀; y₀) sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$.

Khi đó: sinα = y₀; cosα = x₀;

tanα = $\frac{y_0}{x_0}$ (x₀ ≠ 0); cotα = $\frac{x_0}{y_0}$ (y₀ ≠ 0).

1. Gía trị lượng giác của 1 góc

HĐ 1 trang 34 Toán 10 Tập 1:

a) Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

• α = 90^o;

• α < 90^o;

• α > 90^o.

b) Khi 0^o < α < 90^o, nêu mối quan hệ giữa cos α, sin α với hoành độ và tung độ của điểm M.

Lời giải:

a) Gọi điểm A có tọa độ A(1; 0).

• α = 90^o hay $\widehat{AOM}={90}^o$. Khi đó, điểm M có tọa độ M(0;1).

• α < 90^o hay $\widehat{AOM}<{90}^o$.

Do đó, điểm M(x₀; y₀) nằm trên cung tròn $\stackrel{⏜}{AC}$ (không tính điểm C) thỏa mãn 0 < x₀ ≤ 1, 0 ≤ y₀ < 1.

• α > 90^o hay $\widehat{AOM}<{90}^o$. 

Do đó, điểm M(x₀; y₀) nằm trên cung tròn $\stackrel{⏜}{BC}$ (không tính điểm C) thỏa mãn −1 ≤ x₀ < 0, 0 ≤ y₀ < 1.

b) Khi 0^o < α < 90^o 

Kẻ MH ^ Ox, MK ^ Oy (H Î Ox, H Î Oy). Khi đó $\widehat{MOH}=\alpha$.

Gọi điểm M có tọa độ M(x₀; y₀).

Xét tứ giác MKOH có:

$\widehat{HOK}={90}^o$ (Ox ^ Oy)

$\widehat{MHO}={90}^o$ (MH ^ Ox)

$\widehat{MKO}={90}^o$ (MK ^ Oy)

Do đó tứ giác MKOH là hình chữ nhật.

Suy ra OH = |x₀| = x₀; MH = OK = |y₀| = y₀.

Ta có OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Xét ∆MHO vuông tại H, ta có:

$\sin \alpha =\frac{MH}{OM}=\frac{y_0}{1}=y_0$

Hay sin α = y₀.

Ta lại có: $\cos \alpha =\frac{OH}{OM}=\frac{x_0}{1}=x_0$.

Hay cos α = x₀.

Vậy cos α là hoành độ của điểm M và sin α là tung độ của điểm M.

Luyện tập 1 trang 35 Toán 10 Tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120^o (H.3.4).

Lời giải:

Điểm M nằm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^o$.

Hai điểm N, P tương ứng là hình chiếu vuông của M lên hai trục Ox, Oy.

Ta có: OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Ta có $\widehat{xOM}+\widehat{NOM}={180}^o$.

$\widehat{NOM}={180}^o-\widehat{xOM}={180}^o-{120}^o={60}^o$.

Xét tam giác vuông MON, có:

+ $\sin \widehat{MON}=\frac{MN}{OM}=\frac{MN}{1}=MN$

$\Rightarrow MN=OP=\sin {60}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

+ $\cos \widehat{MON}=\frac{ON}{OM}=\frac{ON}{1}=ON$

$\Rightarrow ON=\cos {60}^o=\frac{1}{2}$.

Ta có điểm M nằm bên trái trục Oy (vì $\widehat{xOM}={120}^o$ là góc tù).

Suy ra điểm M có tọa độ là M$\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Do đó theo định nghĩa ta có: sin120° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$, cos120° = $-\frac{1}{2}$.

Suy ra

+  $\tan {120}^o=\frac{\sin {120}^o}{\cos {120}^o}=\frac{\sqrt{3}}{2}:\left(-\frac{1}{2}\right)$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}.(-2)=-\sqrt{3}$.

+ $\cot {120}^o=\frac{\cos {120}^o}{\sin {120}^o}=\left(-\frac{1}{2}\right):\frac{\sqrt{3}}{2}$

$=\left(-\frac{1}{2}\right).\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

HĐ 2 trang 36 Toán 10 Tập 1: Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M và M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa sin α và sin (180^o – α), giữa cos α và cos (180^o – α).

Lời giải:

Hai điểm M và M’ đối xứng với nhau qua trục Oy.

Tọa độ của hai điểm M và M’ là: M(x₀; y₀), M’(–x₀; y₀).

Ta có: $\widehat{xOM}=\alpha ,\widehat{xOM\text{'}}={180}^o-\alpha$.

Khi đó:

∙ sin α = y₀, cos α = x₀.

∙ sin (180^o – α) = y₀, cos (180^o – α) = –x₀ hay x₀ = – cos (180^o – α).

Do đó: sin α = sin (180^o – α) (= y₀), cos α = – cos (180^o – α) (= x₀).

Vậy sin α = sin (180^o – α), cos α = – cos (180^o – α).

Luyện tập 2 trang 36 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 3.6 hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau α và 90^o – α  $(\widehat{xOM}=\alpha ,\widehat{xON}={90}^o-\alpha )$. Chứng minh rằng ΔMOP = ΔNOQ. Từ đó nêu mối quan hệ giữa cos α và sin (90^o – α).

Lời giải:

Ta có: $\alpha =\widehat{AOM};{90}^o-\alpha =\widehat{AON}$

Dễ thấy: $\widehat{AON}={90}^o-\alpha ={90}^o-\widehat{NOB}$  $\Rightarrow \alpha =\widehat{NOB}$.

Xét ∆NOQ và ∆MOP có:

$\widehat{MPO}=\widehat{NQO}={90}^o$

OM = ON = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

$\widehat{POM}=\widehat{QON}\left(\widehat{AOM}=\widehat{NOB}=\alpha \right)$.

Do đó ΔNOQ = ΔMOP (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra OP = OQ (hai cạnh tương ứng)

Ta có: OP = cos α, OQ = sin (90^o – α).

Do đó: cos α = sin (90^o − α).

Vận dụng trang 37 Toán 10 Tập 1: Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Lời giải:

Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều kim đồng hồ.

Gọi M là vị trí thấp nhất của cabin, M’ là vị trí của cabin sau 20 phút và các điểm A, A’, B, H (như hình vẽ).

Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin sẽ đi quãng đường bằng $\frac{2}{3}$ chu vi đường tròn.

Sau 15 phút, cabin di chuyển từ điểm M đến điểm B, đi được $\frac{1}{2}$ chu vi đường tròn.

Trong 5 phút tiếp theo, cabin đi chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng $\frac{1}{6}$ chu vi đường tròn hay $\frac{1}{3}$ cung tròn $\stackrel{⏜}{A\text{'}A}$.

Do đó: $\widehat{BOM\text{'}}=\frac{1}{3}.{180}^o={60}^o$

$\Rightarrow \widehat{AOM\text{'}}={90}^o-{60}^o={30}^o$

Ta có $M\text{'}H=\sin {30}^o.OM\text{'}=\frac{1}{2}.75=37,5$ (m).

Do đó, độ cao của người đó là:

37,5 + 90 = 127,5 (m).

Vậy sau 20 phút quay người đó ở độ cao 127,5 m.

Bài tập

Bài 3.1 trang 37 Toán 10 Tập 1: Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) (2sin 30^o + cos 135^o – 3tan 150^o) . (cos 180^o – cot 60^o);

b) sin² 90^o + cos² 120^o + cos² 0^o – tan² 60^o + cot² 135^o;

c) cos 60^o . sin 30^o + cos² 30^o.

Chú ý: sin² α = (sin α)² , cos² α = (cos α)² , tan² α = (tan α)² , cot² α = (cot α)².

Lời giải:

a) Đặt A = (2sin 30^o + cos 135^o – 3tan 150^o) . (cos 180^o – cot 60^o).

Ta có: cos 135^o = – cos 45^o; cos 180^o = – cos 0^o; tan 150^o =  –  tan30^o; cot60° = tan 30°.

$\Rightarrow$ A = (2sin30^o – cos 45^o + 3tan 30^o) . (– cos 0^o – tan 30^o).

Sử dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {30}^o=\frac{1}{2}$; $\tan {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{3}$; $\cos {45}^o=\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos 0^o = 1.

Do đó $A=\left(2.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+3.\frac{\sqrt{3}}{3}\right).\left(-1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$=-\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\right).\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$=-\frac{2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}.\frac{3+\sqrt{3}}{3}$

$=-\frac{\left(2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right).\left(3+\sqrt{3}\right)}{6}$

$=-\frac{6+2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}+6\sqrt{3}+6}{6}$

$=-\frac{12+8\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}$.

b) Đặt B = sin² 90^o + cos² 120^o + cos² 0^o – tan² 60^o + cot² 135^o.

Ta có: cos 120^o = – cos 60^o; cot 135^o = – cot 45^o

$\Rightarrow$ cos² 120^o = cos² 60^o; cot² 135^o = cot² 45^o

Khi đó B = sin² 90^o + cos² 60^o + cos² 0^o – tan² 60^o + cot² 45^o.

Sử dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

cos 0^o = 1; cot 45^o = 1; $\cos {60}^o=\frac{1}{2}$; $\tan {60}^o=\sqrt{3}$;  sin 90^o = 1.

Do đó $B=1^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2$

$=1+\frac{1}{4}+1-3+1=\frac{1}{4}$

c) Đặt C = cos 60^o . sin 30^o + cos² 30^o

Sử dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {30}^o=\frac{1}{2}$; $\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos {60}^o=\frac{1}{2}$.

Do đó $C=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$.

Bài 3.2 trang 37 Toán 10 Tập 1: Đơn giản các biểu thức sau:

a) sin 100^o + sin 80^o + cos 16^o + cos 164^o;

b) 2sin (180^o – α) . cot α – cos (180^o – α) . tan α . cot (180^o – α) với 0^o < α < 90^o.

Lời giải:

a) Ta có: sin 100^o = sin (180^o – 100^o) = sin 80^o;

cos 164^o = cos (180^o – 16^o) = – cos 16^o.

Do đó sin 100^o + sin 80^o + cos 16^o + cos 164^o

= sin 80^o + sin 80^o + cos 16^o – cos 16^o

= 2sin 80^o.

b) Với 0^o < α < 90^o, ta có:

sin (180^o – α) = sin α; cos (180^o – α) = – cos α;

tan (180^o – α) = – tan α; cot (180^o – α) = – cot α.

Khi đó,

2sin (180^o – α) . cot α – cos (180^o – α) . tan α . cot (180^o – α)

= 2sin α . cot α – (– cos α) . tan α . (– cot α)

= 2sin α . cot α – cos α . tan α . cot α

= 2sin α . $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ – cos α . $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

= 2cos α – cos α = cos α.

Bài 3.3 trang 37 Toán 10 Tập 1: Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin² α + cos² α = 1;

b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (α ≠ 90^o);

c) 2$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (0^o < α < 180^o).

Lời giải:

a)

Gọi M(x; y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$.

Ta có: OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}^2={\cos }^2\alpha \\ y^2={\sin }^2\alpha \end{array}\right.$ (1)

Mà $\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|=ON\\ \left|y\right|=OP=MN\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}^2={\left|x\right|}^2=O{N}^2\\ y^2={\left|y\right|}^2=M{N}^2\end{array}\right.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: sin² α + cos² α = ON² + MN² = OM² = 1 (do ∆OMN vuông tại N).

Do đó sin² α + cos² α = 1 (đpcm).

b) Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ (α ≠ 90^o)

$1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$

$=\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$.

Mà theo câu a) ta có: sin² α + cos² α = 1 với mọi góc α.

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (đpcm)

c) Ta có: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ (0^o < α < 180^o)

$1+{\cot }^2\alpha =1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$

$=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$.

Mà theo câu a) ta có: sin² α + cos² α = 1 với mọi góc α.

$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (đpcm).

Bài 3.4 trang 37 Toán 10 Tập 1: Cho góc α (0^o < α < 180^o) thỏa mãn tan α = 3.

Tính giá trị của biểu thức: $P=\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\sin \alpha +2\cos \alpha }$.

Lời giải:

Ta có: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (α ≠ 90^o)

$\Rightarrow \frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+3^2=10$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}\iff \cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Vì 0^o < α < 180^o nên sin α > 0.

Mà tan α = 3 > 0 $\Rightarrow$ cos α > 0 $\Rightarrow$ $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Lại có: sin α = cos α . tan α = $3.\frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Do đó $P=\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\sin \alpha +2\cos \alpha }=\frac{2.\frac{3\sqrt{10}}{10}-3.\frac{\sqrt{10}}{10}}{3.\frac{3\sqrt{10}}{10}+2.\frac{\sqrt{10}}{10}}$

$=\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}(2.3-3)}{\frac{\sqrt{10}}{10}(3.3+2)}=\frac{3}{11}$.

Vậy với α (0^o < α < 180^o) thỏa mãn tan α = 3 thì $P=\frac{3}{11}$.