Cho elip (E) x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1: (a > b > 0) a) Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành

Lời giải Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10.

231 lượt xem

« Trang trước

Trang sau »

Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7

Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2:

Cho elip (E) : $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0)

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của (E) với trục hoành và các giao điểm B₁, B₂ của (E) với trục tung. Tính A₁A₂; B₁B₂

b) Xét một điểm bất kì M(x₀; y₀) thuộc (E).

Chứng minh rằng: b²≤ $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ ≤ a²và b ≤ OM ≤ a

Chú ý: A₁A₂; B₁B₂ tương ứng được là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b

Lời giải

a) Giao điểm của (E) với trục hoành có y = 0 nên $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1$ ⇒ x² = a² ⇒ x = ± a

Do đó, giao điểm của (E) với trục hoành lần lượt là: A₁(−a; 0), A₂(a; 0).

⇒ $\vec{A_{1} A_{2}} (2 a; 0)$ ⇒ A₁A₂ = $\sqrt{{(2 a)}^{2} + 0^{2}}$ = 2a.

Giao điểm của (E) với trục tung có x = 0 nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ⇒ y² = b² ⇒ y = ± b

Do đó, giao điểm của (E) với trục tung lần lượt là: B₁(0; −b), B₂(0; b).

⇒ $\vec{B_{1} B_{2}} (0; 2 b)$ ⇒ B₁B₂ = $\sqrt{0^{2} + {(2 b)}^{2}}$ = 2b.

Vậy A₁(−a; 0), A₂(a; 0), B₁(0; −b), B₂(0; b), A₁A₂ = 2a, B₁B₂ = 2b.

b) Vì M(x₀; y₀) thuộc (E) nên $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$

Vì a > b > 0 nên $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}}$ (Dấu “=” xảy ra khi x₀ = 0)

⇔ $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} \leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$ hay $1 \leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}{b^{2}}$

⇒ b²≤ $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ (1)

Tương tự ta có: $\frac{y_{0}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$ (Dấu “=” xảy ra khi y₀ = 0)

⇔ $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} \geq \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{a^{2}}$ hay $1 \geq \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{a^{2}}$ ⇒ $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ ≤ a² (2)