Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7

Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2:

Cho hypebol có phương trình : $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của hypebol với trục hoành (hoành độ của A₁ nhỏ hơn của A₂).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.

c) Tìm các điểm M₁, M₂ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hyperbol để M₁M₂ nhỏ nhất.

Lời giải 

a) Giao điểm của (H) với trục hoành có y = 0 nên $\frac{x^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$ ⇒ x²  = a² ⇒ x = ± a;

Hơn nữa hoành độ A₁ nhỏ hơn hoành độ A₂ nên ta có: A₁(−a; 0),  A₂(a; 0).

Vậy tọa độ giao điểm của hypebol với trục hoành lần lượt là A₁(−a; 0),  A₂(a; 0).

b) Ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 

⇔ $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}$ 

Mà $\frac{y^2}{b^2}$≥ 0 nên $\frac{x^2}{a^2}\ge 1$ hay x² ≥ a² 

⇔ |x| ≥ |a|

⇔ x ≥ a hoặc x ≤ - a .

Vậy điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ 0 nên x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ 0 nên x ≥ a.

b) Gọi toạ độ điểm M₁(x₁;y₁),  M₂(x_2;y₂),  tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol. Khi đó x₁ ≤ – a và x₂ ≥ a.

Ta có:

$\overrightarrow{M_1{M}_2}\left(x_2-x_1;y_2-y_1\right)$ ⇒ M₁M₂ = $\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$;

A₁A₂= $\sqrt{{(a-(-a\left)\right)}^2+{(0-0)}^2}$ = 2a.

Vì x₁ < 0 và x₂ > 0 nên x₂ – x₁ = $\left|x_2\right|$+$\left|x_1\right|$ (1)

Mặt khác ta có: x₁ ≤ –a  và x₂  ≥  a ⇒ $\left|x_2\right|$  ≥  a và $\left|x_1\right|$ ≥  a

                                                        ⇒ $\left|x_2\right|$+$\left|x_1\right|$ ≥  a + a = 2a  (2)

Từ (1) và (2) ta có: x₂ – x₁ ≥  2a ⇒ (x₂ – x₁)² ≥  (2a)²  

Ta lại có: (y₂ – y₁)²  ≥ 0

⇒  (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²  ≥  (2a)²  + 0 = (2a)²  

⇒ $\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$ ≥  2a  hay M₁M₂ ≥ A₁A₂

Vậy M₁M₂ nhỏ nhất khi M₁M₂ = A₁A₂

Dấu “=” xảy ra khi diểm M₁ ≡ A₁(-a; 0) và  M₂  ≡ A₂(a; 0).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: