Chứng minh các hệ thức sau: sin^2 α + cos^2 α = 1
Giải Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0o đến 180o
Bài 3.3 trang 37 Toán 10 tập 1: Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin2 α + cos2 α = 1;
b) 1+tan2α=1cos2α (α ≠ 90o);
c) 21+cot2α=1sin2α (0o < α < 180o).
Lời giải:
a)
Gọi M(x; y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho ^xOM=α.
Ta có: OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).
Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.
Ta có: {x=cosαy=sinα⇒{x2=cos2αy2=sin2α (1)
Mà {|x|=ON|y|=OP=MN⇒{x2=|x|2=ON2y2=|y|2=MN2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: sin2 α + cos2 α = ON2 + MN2 = OM2 = 1 (do ∆OMN vuông tại N).
Do đó sin2 α + cos2 α = 1 (đpcm).
b) Ta có: tanα=sinαcosα (α ≠ 90o)
1+tan2α=1+sin2αcos2α
=cos2αcos2α+sin2αcos2α=cos2α+sin2αcos2α.
Mà theo câu a) ta có: sin2 α + cos2 α = 1 với mọi góc α.
1+tan2α=1cos2α (đpcm)
c) Ta có: cotα=cosαsinα (0o < α < 180o)
1+cot2α=1+cos2αsin2α
=sin2αsin2α+cos2αsin2α=sin2α+cos2αsin2α.
Mà theo câu a) ta có: sin2 α + cos2 α = 1 với mọi góc α.
1+cot2α=1sin2α (đpcm).
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:
Luyện tập 1 trang 35 Toán 10 tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120o (H.3.4)...
HĐ 2 trang 36 Toán 10 tập 1: Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M và M’ đối với trục Oy...
Luyện tập 2 trang 36 Toán 10 tập 1: Trong Hình 3.6 hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau...
Bài 3.2 trang 37 Toán 10 tập 1: Đơn giản các biểu thức sau...
Bài 3.3 trang 37 Toán 10 tập 1: Chứng minh các hệ thức sau...
Bài 3.4 trang 37 Toán 10 tập 1: Cho góc α (0o < α < 180o) thỏa mãn tan α = 3...