Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài 16: Hàm số bậc hai

Hoạt động 2 trang 12 Toán 10 Tập 2: Xét hàm số y = S(x) = – 2x² + 20x (0 < x < 10).

a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn tọa độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập được ở Ví dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số y = – 2x² + 20x trên khoảng (0; 10) như trong Hình 6.10. Dạng đồ thị của hàm số y = – 2x² + 20x có giống với đồ thị của hàm só y = – 2x² hay không?

b) Quan sát dạng đồ thị của hàm số y = – 2x² + 20x trong Hình 6.10, tìm tọa độ điểm cao nhất của đồ thị.

c) Thực hiện phép biến đổi

y = – 2x² + 20x = – 2(x² – 10x) = – 2(x² – 2 . 5 . x + 25) + 50 = – 2(x – 5)² + 50.

Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.

Lời giải

a) Biểu diễn các điểm có tọa độ (0; 0), (2; 32), (4; 48), (5; 50), (6; 48), (8; 32), (10; 0) lên mặt phẳng tọa độ và nối lại được của đồ thị hàm số y = – 2x² + 20x trên khoảng (0; 10).

Quan sát hình ta thấy, dạng của đồ thị hàm số y = – 2x² + 20x giống với dạng của đồ thị hàm số y = – 2x².

b) Tọa độ điểm cao nhất của đồ thị hàm số y = – 2x² + 20x là (5; 50).

c) Vì (x – 5)² ≥ 0 với mọi số thực x

Nên – 2(x – 5)² ≤ 0 với mọi số thực x

Do đó: – 2(x – 5)² + 50 ≤ 0 + 50 = 50 với mọi số thực x.

Vậy y ≤ 50.

Vậy giá trị lớn nhất của y là 50 hay diện tích lớn nhất của mảnh đất được rào chắn là 50 m².

Từ đó ta có lời giải bài toán mở đầu:

Gọi x (mét, x > 0) là khoảng cách từ điểm cọc P và Q đến bờ tường.

Tấm lưới dài 20 m và được rào chắn như Hình 6.8 nên x + x + PQ = 20.

Suy ra: PQ = 20 – x – x = 20 – 2x (m).

Vì PQ > 0 nên 20 – 2x > 0 ⇔ 2x < 20 ⇔ x < 10.

Vậy ta có điều kiện của x là 0 < x < 10.

Mảnh đất được rào chắn có dạng hình chữ nhật với hai kích thước là x (m) và 20 – 2x (m) với 0 < x < 10.

Diện tích của mảnh đất là S(x) = x . (20 – 2x) = – 2x² + 20x.

Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm giá trị của x để S(x) lớn nhất.

S(x) = – 2(x² – 10x) = – 2(x² – 2 . 5 . x + 25) + 50 = – 2(x – 5)² + 50 ≤ 50 với mọi số thực x.

Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 ⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện 0 < x < 10).

Do đó giá trị lớn nhất của S(x) là 50 tại x = 5.

Vậy hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường 5 m để mảnh đất được rào chắn của bác Việt có diện tích lớn nhất.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: