Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng đenta : ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến n(a; b). Gọi H là hình chiếu vuông góc

Lời giải Hoạt động 4 trang 40 Toán 10 Tập 2 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10.

176 lượt xem

« Trang trước

Trang sau »

Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách.

Hoạt động 4 trang 40 Toán 10 Tập 2:

Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ (a; b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên ∆ (H.7.9).

a) Chứng minh rằng $|\vec{n} . \vec{H M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$

b) Gỉa sử H có toạ độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng:

$\vec{n} . \vec{H M} = a . (x_{0} - x_{1}) + b (y_{0} - y_{1}) = {ax}_{0} + b y_{0} + c$

c) Chứng minh rằng HM = $\frac{|{ax}_{0} + b y_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Giải Toán 10 Bài 20 (Kết nối tri thức): Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách. (ảnh 1)

Lời giải

a) Ta có: $\vec{n} . \vec{H M}$ = $|\vec{n}| . |\vec{M H}| . \cos (\vec{n}; \vec{H M})$ = $\sqrt{a^{2} + b^{2}} . M H . \cos (\vec{n}; \vec{H M})$

Mà $\vec{n}$ và $\vec{H M}$ là hai vectơ cùng phương (vì cùng vuông góc với ∆) nên $(\vec{n}; \vec{H M})$ = 0⁰

Do đó, $\vec{n} . \vec{H M}$ = $\sqrt{a^{2} + b^{2}} . M H . \cos 0^{0}$ = $\sqrt{a^{2} + b^{2}} . M H$ .

Vậy $|\vec{n} . \vec{H M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ (*) (đpcm)

b) Ta có: $\vec{H M}$ = ( x₀ – x₁; y₀ – y₁)

Mặt khác, ta có: $\vec{n} . \vec{H M}$ = a.(x₀ – x₁) + b.(y₀ – y₁)

= ax₀ – ax₁ + by₀ – by₁

= ax₀ + by₀ – ax₁– by₁ (1)

Thoe giả thiết ta có điểm H thuộc đường thẳng ∆ nên ax₁ + by₁ + c = 0

⇒ – ax₁– by₁ = c (2)

Thay (2) và (1) ta được: $\vec{n} . \vec{H M}$ = a.(x₀ – x₁) + b.(y₀ – y₁) = ax₀ + by₀ + c (đpcm)

Hay $|\vec{n} . \vec{H M}| = |a x_{0} + b y_{0} + c|$ (**)

c) Từ (*) và (**) ta có: $\sqrt{a^{2} + b^{2}} . M H$ = $|a x_{0} + b y_{0} + c|$ ( = $|\vec{n} . \vec{H M}|$ ).

⇒ MH = $\frac{|a x_{0} + b y_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ (đpcm).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 36 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $∆$ ₁: x – 2y + 3 = 0 $∆$ ₂: 3x – y – 1 = 0...

Luyện tập 1 trang 37 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) $∆$ ₁: x + 4y – 3 = 0 và $∆$ ₂: x – 4y – 3 = 0...

Hoạt động 2 trang 37 Toán 10 Tập 2: Hai đường thẳng $∆$ ₁ và $∆$ ₂ cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mỗi quan hệ gì...

Hoạt động 3 trang 38 Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng cắt nhau $∆$ ₁ và $∆$ ₂ tương ứng có các vectơ pháp tuyến $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ ...

Luyện tập 2 trang 39 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng $∆$ ₁: x + 3y + 2 = 0 và $∆$ ₂: y = 3x + 1...

Luyện tập 3 trang 39 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng $∆$ ₁: $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2 t \end{cases}$ và $∆$ ₂: $\{\begin{cases} x = 1 + t' \\ y = 5 + 3 t' \end{cases}$ ...

Luyện tập 4 trang 39 Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng $∆$ : y = ax + b với a $\neq$ 0. a) Chứng minh rằng $∆$ cắt trục hoành...

Hoạt động 4 trang 40 Toán 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng $∆$ : ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ (a; b). Gọi H là hình chiếu vuông góc...

Trải nghiệm trang 40 Toán 10 Tập 2: Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $∆$ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp...

Luyện tập 5 trang 40 Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng $∆$ : $\{\begin{cases} x = 5 + 3 t \\ y = - 5 - 4 t \end{cases}$ ...

Vận dụng trang 41 Toán 10 Tập 2: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD...

Bài 7.7 trang 41 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) $∆$ ₁ : 3 $\sqrt{2 x}$ + $\sqrt{2 y}$ – $\sqrt{3}$ = 0...

Bài 7.8 trang 41 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) $∆$ ₁ : $\sqrt{3 x}$ + y – 4 = 0 và $∆$ ₂ : x + $\sqrt{3 y}$ + 3 = 0...

Bài 7.9 trang 42 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(0; –2) và đường thẳng $∆$ : x + y – 4 = 0 a) Tính khoảng cách từ điểm A...

Bài 7.10 trang 42 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(–2; –1) a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A...

Bài 7.11 trang 42 Toán 10 Tập 2: Chứng minh hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ $\neq$ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa’ = –1...

Bài 7.12 trang 42 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại 3 vị trí...

Bài viết liên quan

176 lượt xem

« Trang trước

Trang sau »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng đenta : ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến n(a; b). Gọi H là hình chiếu vuông góc

Bài viết liên quan

Có thể bạn quan tâm