Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối năm

Bài 7 trang 95 Toán 10 Tập 2: Cho các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A”;

Q: “Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC²”.

a) Hãy phát biểu các mệnh đề: P ⇒ Q, Q ⇒ P, P ⇔ Q, $\overline{P}$ ⇒ $\overline{Q}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.

b) Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề P ⇒ Q.

c) Gọi X là tập hợp các tam giác ABC vuông tại A, Y là tập hợp các tam giác ABC có trung tuyến AM = $\frac{1}{2}$BC. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.

Lời giải

a)

• P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC²”.

Theo định lý Pythagore, mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

• Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC² thì tam giác ABC là tam giác vuông tại A”.

Theo định lý Pythagore đảo, mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đúng.

• P ⇔ Q: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A nếu và chỉ nếu tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC²”.

Vì P ⇒ Q và Q ⇒ P đúng nên mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề đúng.

• Ta có: $\overline{P}$ (phủ định của P): “Tam giác ABC không là tam giác vuông tại A”.

$\overline{Q}$ (phủ định của Q): “tam giác ABC có các cạnh không thỏa mãn AB² + AC² = BC²”.

Do đó, $\overline{P}$ ⇒ $\overline{Q}$: “Nếu tam giác ABC không là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có các cạnh không thỏa mãn AB² + AC² = BC²”.

Mệnh đề $\overline{P}$ ⇒ $\overline{Q}$ là mệnh đề đúng.

b) Ta có:

• Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC² là điều kiện cần để tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

• Tam giác ABC là tam giác vuông tại A là điều kiện đủ để tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC².

c) Ta biết rằng một tam giác là vuông khi và chỉ khi đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền (được chứng minh ở bậc THCS).

Vậy nếu tam giác ABC có trung tuyến AM = $\frac{1}{2}$BC thì tam giác ABC vuông tại A.

Vậy mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y là X = Y.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: