Bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

1. Khái niệm hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, trong đó a, b là hai số đã cho và  $a\ne 0$.

2. Các tính chất của hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất xác định bởi mọi x $\in ℝ$.

- Hàm số bậc nhất đồng biến trên $ℝ$ khi a > 0.

- Hàm số bậc nhất nghịch biến trên $ℝ$ khi a < 0.

II. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc nhất

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa của hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a$\ne$0).

Hàm số nào không có dạng trên thì không phải hàm số bậc nhất.

Ví dụ 1: Trong các hàm số sau đây đâu là hàm số bậc nhất, chỉ rõ các hệ số a, b trong trường hợp hàm số bậc nhất.

a) y = 3x + 1

b) $y={\left(x+1\right)}^2$

c) $y={\left(2x-3\right)}^2-4x^2$

d) $y=\frac{5x+1}{x-3}$

Lời giải:

a) Hàm số y = 3x + 1 là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = 3 và b = 1.

b) Hàm số $y={\left(x+1\right)}^2$= $x^2+2x+1$không là hàm số bậc nhất vì nó không có dạng y = ax + b.

c) Hàm số $y={\left(2x-3\right)}^2-4x^2$= $4x^2-12x+9-4x^2$= -12x + 9 là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = -12 và b = 9.

d) Hàm số  $y=\frac{5x+1}{x-3}$không phải hàm số bậc nhất vì nó không có dạng y = ax + b.

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để hàm số sau là hàm số bậc nhất.

a) $y=\left(m^2-1\right)x+3$

b) $y=\sqrt{m-2}.x-5$

c) y = (m + 1)² + x -20

Lời giải:

a) Để làm số $y=\left(m^2-1\right)x+3$là hàm số bậc nhất thì $a\ne 0$

$\iff m^2-1\ne 0$

$\iff \left(m-1\right)\left(m+1\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m-1\ne 0\\ m+1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ m\ne -1\end{array}\right.$

Vậy để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì $m\ne \pm 1$.

b) Để hàm số $y=\sqrt{m-2}.x-5$ là hàm số bậc nhất thì $a\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{m-2}\ne 0\\ m-2\ge 0\end{array}\right.$

$\Rightarrow m-2>0$

$\iff m>2$

Vậy để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì $m>2$.

c) Để hàm số  y = (m + 1)² + x - 20 là hàm số bậc nhất thì

m + 1 = 0

$\iff$m = -1

Vậy m = – 1 thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

Dạng 2: Tính giá trị hàm số

Phương pháp giải: Giá trị hàm số y = f(x) tại điểm $x_0$ là $y_0=f\left(x_0\right)$

Do đó muốn tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = x₀ ta thay x = x₀ vào công thức của hàm số rồi tính giá trị f(x₀).

Ví dụ: Tính giá trị hàm số

a) y = f(x) = 3x + 5 tại x = 1

b) y = f(x) = -4x + 1 tại x = 2

c) y = f(x) = 2x + 6 tại x = 0

Lời giải:

a) y =  f(x) = 3x + 5

Thay x = 1 vào hàm số đã cho ta được:

y = f(1) = 3.1 +5 = 8

Vậy tại x = 1 thì giá trị của hàm số là 8

b) y = f(x) = -4x + 1

Thay x = 2 vào hàm số đã cho ta được:

y = f(2) = -4.2 + 1 = -8 + 1 = -7

Vậy tại x = 2 thì giá trị của hàm số là -7

c) y = f(x) = 2x + 6

Thay x = 0 vào hàm số đã cho ta được:

y = f(0) = 2.0 + 6 =6

Vậy tại x = 0 thì giá trị của hàm số là 6

Dạng 3: Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số bậc nhất

Phương pháp giải: Xét hàm số y = ax + b với a, b là hằng số, a $\ne$0

- Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên $ℝ$.

- Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$.

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số sau

a) y = 3x + $\frac{1}{2}$

b) y = -2x + 1

c) y = $\frac{1}{2}$x + 5

Lời giải:

a) Với y = 3x + $\frac{1}{2}$ ta có a = 3 > 0

$\Rightarrow$Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ$.

b) Với y = -2x + 1 ta có a = -2 < 0

$\Rightarrow$Hàm số đã cho nghịch biến trên $ℝ$.

c) Với y = $\frac{1}{2}$x + 5 ta có a = $\frac{1}{2}$> 0.

$\Rightarrow$Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ$.

Ví dụ 2: Tìm m để các hàm số sau

a) y = (m – 1) x +3 đồng biến trên $ℝ$.

b) y = ($m^2-5m+6$)x  + 3m nghịch biến trên $ℝ$.

Lời giải:

a) Để hàm số y = (m – 1) x +3 đồng biến trên $ℝ$ thì a > 0

$\Rightarrow$m – 1 > 0

$\Rightarrow$m > 1

Vậy để hàm số đồng biến trên $ℝ$ thì m > 1.

b) Để hàm số y = ($m^2-5m+6$)x  + 3m nghịch biến trên $ℝ$thì a < 0

$\Rightarrow m^2-5m+6$ < 0

$\iff m\left(m-2\right)-3\left(m-2\right)<0$$\iff \left(m-2\right)\left(m-3\right)<0$

$\iff \left(m-2\right)\left(m-3\right)<0$

TH1: $\left\{\begin{array}{l}m-2>0\\ m-3<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m>2\\ m<3\end{array}\right.\Rightarrow 2<m<3$

TH2: $\left\{\begin{array}{l}m-2<0\\ m-3>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m<2\\ m>3\end{array}\right.$ (vô lí)

Vậy 2 < m < 3 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Các hàm số sau đây có phải hàm số bậc nhất hay không? Nếu phải hãy chỉ ra hệ số a, b.

a) y = 3x + 5

b) y = $x\left(x-1\right)-x^2$

c) y = $x^2-{\left(2x-1\right)}^2+3x$

d) $y=\frac{x^2+2x-5}{3}-\frac{x^2}{3}$

Bài 2: Tìm m để hàm số sau là hàm số bậc nhất

a) y = (m+4)x – 3

b) $y=\left(m^2-7m+8\right)x^2+3x-2$

c) $y=\left(\left|m+1\right|-3\right)x+\frac{3}{4}$

d) $y=\frac{\sqrt{m}+1}{\sqrt{m}-3}x+\frac{1}{2}$.

Bài 3: Tính giá trj hàm số

a) y = 3x tại x = $\frac{1}{2}$

b) y = $\frac{1}{2}$x + $\frac{1}{2}$ tại x = 5

c) y = $\frac{-5}{3}$x - $\frac{-4}{5}$ tại x = 3

d) $y=(m+1)x+3$ tại x = 2.

Bài 4: Tìm m để các giá trị hàm số sau thỏa mãn

a) Giá trị hàm số y = (m+1)x - 5 tại x = 2 là 7

b) Giá trị hàm số $y=(m+1)x+3$ tại x = $\frac{1}{2}$ là $\frac{-5}{2}$

Bài 5: Tìm m để hàm số $y=(m^2+2m)x-\frac{3}{2}$ có f(1) = f(2).

Bài 6: Chứng minh hàm số sau luôn là hàm số bậc nhất

a) $y=\left(m^2+2m+5\right)x-\frac{6}{7}$

b) $y=\sqrt{m^2+2}x-\frac{4}{3}$

c) $y=\left(\left|m+3\right|+1\right)x+3$.

Bài 7: Các hàm số sau đồng biến hay nghịch biến

a) y = -2x + 1

b) y = $\frac{-5}{2}$x - 3

c) y = 4x + 7.

Bài 8: Tìm m để hàm số sau thỏa mãn

a) y = (m +1) x - 5 luôn đồng biến trên $ℝ$.

b) $y=\left(\left|m+3\right|-1\right)x-3$ luôn nghịch biến trên $ℝ$.

c) $y=\left(-m^2+3m\right)x-3$ luôn đồng biến trên $ℝ$.

Bài 9: Chứng minh các hàm số sau:

a) $y=\left(k^2+2k+3\right)x+k-5$ luôn là hàm số bậc nhất và luôn đồng biến trên $ℝ$.

b) $y=\left(-m^2+m-2\right)x-\frac{6}{7}$luôn là hàm số bậc nhất và luôn nghịch biến trên $ℝ$.

Bài 10: Cho hàm số $y=\left(k^2+2k+5\right)x+k-5$. So sánh f(1) và $f\left(\sqrt{2}-1\right)$.