Các dạng bài tập Phương trình bậc hai một ẩn và cách giải bài tập - Toán lớp 9

A. Lí thuyết

- Dạng tổng quát: a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac; $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

- Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b\text{'}}{a}$

+) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

- Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

B. Các dạng bài tập và ví dụ minh họa

Dạng 1: Cách giải phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình về dạng tổng quát: a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Tính biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac hoặc $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b\text{'}}{a}$

+) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình $x^2-3x+2=0$.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2-3x+2=0$ có: a = 1, b = -3, c = 2

Ta có:

$\Delta =b^2-4ac={(-3)}^2-\mathrm{4.1.2}=9-8=1$ > 0

Vậy phương trình $x^2-3x+2=0$ có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2.1}=\frac{3-1}{2}=1$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2.1}=\frac{3+1}{2}=2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2}

Ví dụ 2: Giải phương trình $x^2-2x+1=0$.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2-2x+1=0$ có: a = 1, b = -2 $\Rightarrow$ b’ = -1, c = 1

Ta có: $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac={(-1)}^2-1.1=1-1=0$

Vậy phương trình $x^2-2x+1=0$ có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b\text{'}}{a}=\frac{-(-1)}{1}=1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}

Dạng 2: Kiểm tra một số có phải là nghiệm của phương trình

Phương pháp giải:

Để kiểm tra một số $x_0$ có là nghiệm của phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) hay không, ta thay $x_0$ vào phương trình để kiểm tra:

+) Nếu a${x_0}^2$ + b$x_0$ + c = 0 thì $x_0$ là nghiệm của phương trình.

+) Nếu a${x_0}^2$ + b$x_0$ + c ≠ 0 thì $x_0$ không là nghiệm của phương trình.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Kiểm tra xem x = 3 có phải là nghiệm của phương trình$x^2-3x+4=0$ không ?

Lời giải:

Ta có: $3^2-3.3+4=4\ne 0$

Do đó, x = 3 không là nghiệm của phương trình $x^2-3x+4=0$ 

Ví dụ 2: Bạn Hằng cho rằng x = 1 luôn là nghiệm của phương trình $x^2-2mx+2m-1=0$ (m là tham số). Theo em, bạn Hằng đúng hay sai ? Vì sao ?

Lời giải:

Ta có:

$1^2-2m.1+2m-1=0$

Do đó, x = 1 luôn là nghiệm của phương trình $x^2-2mx+2m-1=0$ (m là tham số). Vậy bạn Hằng đúng.

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số

Phương pháp giải:

Biện luận phương trình : a$x^2$ + bx + c = 0

TH1: a = 0

Phương trình trở thành phương trình bậc nhất: bx + c = 0

Khi đó, ta có:

Nếu b khác 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất là: $x=\frac{-c}{b}$

Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

Nếu b = 0 và c khác  0 thì phương trình vô nghiệm.

TH2: a khác  0

Tính biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac hoặc $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’)

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b\text{'}}{a}$

+) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình $2x^2+3x+m-5=0$ (m là tham số)

Lời giải:

Xét phương trình $2x^2+3x+m-5=0$ có: a = 2  0, b = 3, c = m – 5

Ta có: $\Delta =b^2-4ac=3^2-\mathrm{4.2.}(m-5)=9-8m+40=49-8m$

Nếu $\Delta >0\iff 49-8m>0\iff m<\frac{49}{8}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-3+\sqrt{49-8m}}{4};x_2=\frac{-3-\sqrt{49-8m}}{4}$

Nếu $\Delta =0\iff 49-8m=0\iff m=\frac{49}{8}$ thì phương trình có nghiệm kép là:$x_1=x_2=\frac{-3}{4}$

Nếu $\Delta <0\iff 49-8m<0\iff m>\frac{49}{8}$ thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình $(m-1)x^2+3x+5=0$ (với m là tham số)

Lời giải:

Xét phương trình $(m-1)x^2+3x+5=0$ (*) có: a = m – 1, b = 3, c = 5

TH1: m – 1 = 0 $\iff$ m = 1

Phương trình (*) trở thành phương trình bậc nhất:  3x + 5 = 0

Do đó, phương trình có duy nhất một nghiệm là: $x=\frac{-5}{3}$

TH2: $m-1\ne 0\iff m\ne 1$

Khi đó, ta có:

$\Delta =b^2-4ac=3^2-4(m-1).5=9-20m+20=29-20m$

Nếu $\Delta <0\iff 29-20m<0\iff m>\frac{29}{20}$ thì phương trình vô nghiệm

Nếu $\Delta =0\iff 29-20m=0\iff m=\frac{29}{20}$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-3}{2(m-1)}=\frac{-3}{2\left(\frac{29}{20}-1\right)}=\frac{-10}{3}$

Nếu $\Delta >0\iff 29-20m>0\iff m<\frac{29}{20}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-3+\sqrt{29-20m}}{2(m-1)};x_2=\frac{-3-\sqrt{29-20m}}{2(m-1)}$

Dạng 4: Xét dấu nghiệm số của phương trình bậc hai và các bài toán liên quan

Phương pháp giải:

- Xét dấu nghiệm phương trình a$x^2$ + bx + c = 0  (a khác 0)

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng dấu $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.$ 

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng dấu dương

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ x_1.x_2>0\\ x_1+x_2>0\end{array}\right.$  

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng dấu âm $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ x_1.x_2>0\\ x_1+x_2<0\end{array}\right.$  

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1,x_2$ trái dấu $\iff ac<0$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình $x^2-5x+3=0$. Không tính cụ thể giá trị nghiệm, hãy xét dấu nghiệm của phương trình.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2-5x+3=0$ ta có:

$\Delta ={(-5)}^2-\mathrm{4.1.3}=25-12=13$ > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-(-5)}{1}=5>0\\ x_1.x_2=\frac{3}{1}=3>0\end{array}\right.$

Do đó, hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng dấu dương

Ví dụ 2: Cho phương trình: $x^2-2x+1-m^2=0$ (m là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

c) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Lời giải:

Xét phương trình: $x^2-2x+1-m^2=0$ 

Ta có: $\Delta ={(-2)}^2-\mathrm{4.1.}(1-m^2)=4-4+m^2=m^2$

Để phương trình có nghiệm thì: $\Delta \ge 0\iff m^2\ge 0\iff m\in ℝ$ 

Vậy phương trình có nghiệm với mọi tham số m, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-(-2)}{1}=2\\ x_1.x_2=\frac{1-m^2}{1}=1-m^2\end{array}\right.$

a) Để hai nghiệm cùng dương thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2>0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2>0\\ 1-m^2>0\end{array}\right.\iff m^2<1\iff -1<m<1$ 

Vậy khi -1 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm cùng dương

b) Để hai nghiệm cùng âm thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2<0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2<0\\ 1-m^2>0\end{array}\right.\iff m\in \varnothing$ 

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

c) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì khi và chỉ khi:

$a.c<0\iff 1.(1-m^2)<0\iff 1-m^2<0\iff m^2>1\iff \left[\begin{array}{l}m>1\\ m<-1\end{array}\right.$

Vậy khi m > 1 hoặc m < -1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải phương trình $x^2-7x+8=0$

Bài 2: Giải phương trình $2x^2-5x+13=0$

Bài 3: Giải phương trình $x^2-6x+9=0$

Bài 4: Hãy cho biết x = 3 có phải là một nghiệm của phương trình $x^2-7x+12=0$ hay không ?

Bài 5: Hãy cho biết x = 2 có phải là một nghiệm của phương trình $m{x}^2-(2m+1)x+2=0$ hay không ?

Bài 6: Giải và biện luận phương trình $2m{x}^2-(m+1)x+6=0$

Bài 7: Giải và biện luận phương trình $4x^2-7mx+6=0$

Bài 8: Giải và biện luận phương trình $4x^2-7mx+m^2-1=0$

Bài 9: Không tính cụ thể giá trị nghiệm, hãy xét dấu nghiệm của phương trình $3x^2-6x+2=0$.

Bài 10: Tìm điều kiện của m để phương trình $x^2-6mx+2=0$ có hai nghiệm cùng dấu âm.

Bài 11: Tìm điều kiện của m để phương trình $x^2-5x+2m=0$ có hai nghiệm trái dấu.

Bài 12: Tìm điều kiện của m để phương trình $m{x}^2-5mx+4=0$ có hai nghiệm cùng dấu.